Techniki zliczania techniki, aplikacje, przykłady, ćwiczenia

Techniki zliczania Są serią metod prawdopodobieństwa, aby zliczyć możliwą liczbę ustaleń w zestawie lub kilka zestawach obiektów. Są one używane podczas ręcznego tworzenia konta z powodu dużej liczby obiektów i/lub zmiennych.

Na przykład rozwiązanie tego problemu jest bardzo proste: wyobraź sobie, że twój szef prosi o policzenie najnowszych produktów, które przybyły w ostatniej godzinie. W tym przypadku możesz iść i policzyć produkty jeden po drugim.

Wyobraź sobie jednak, że problem jest taki: twój szef prosi cię o policzenie, ile grup 5 produktów tego samego typu można utworzyć z tymi, którzy przybyli ostatniej godziny. W takim przypadku obliczenia jest skomplikowane. W tego rodzaju sytuacjach stosuje się techniki zliczania.  

Techniki te są kilka, ale najważniejsze są podzielone na dwie podstawowe zasady, które są multiplikatywne i addytywne; permutacje i kombinacje.

[TOC]

Zasada multiplikatywna

Aplikacje

Zasada multiplikatywna wraz z dodatkiem jest podstawowa, aby zrozumieć działanie technik zliczania. W przypadku multiplikatywności składa się z następujących czynności:

Wyobraź sobie działanie, które pociąga za sobą określoną liczbę kroków (całkowitą oceniamy ją jako „R”), w którym pierwszy krok można wykonać w formularzach N1, drugi krok N2, a krok „R” form NR. W takim przypadku aktywność można wykonać w liczbie formularzy wynikających z tej operacji: n1 x n2 x .. .X NR Formy

Dlatego ta zasada nazywa się multiplikatywną i oznacza, że ​​każdy z kroków potrzebnych do wykonywania aktywności musi zostać wykonany po drugiej. 

Przykład

Wyobraźmy sobie osobę, która chce zbudować szkołę. Aby to zrobić, zastanów się, że podstawę budynku można zbudować na dwa różne sposoby, cement lub beton. Jeśli chodzi o ściany, mogą być one adobe, cementem lub cegły.

Jeśli chodzi o dach, można to zbudować z cementu lub ocynkowanego arkusza. Wreszcie, ostateczne malowanie można zrobić tylko w pewnym sensie. Pytanie, które pojawia się następujące: ile sposobów ma szkoła?

Najpierw rozważamy liczbę kroków, które byłyby podstawą, ścianami, dachem i obrazem. W sumie 4 kroki, więc r = 4.

Może ci służyć: rola roli

Poniżej wymieniłoby N:

N1 = sposoby budowania podstawy = 2

N2 = sposoby budowania ścian = 3

N3 = sposoby wykonania dachu = 2

N4 = sposoby wykonywania farby = 1

Dlatego liczba możliwych sposobów zostanie obliczona na podstawie wzoru opisanego powyżej:

N1 x n2 x n3 x n4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 sposobów wykonywania szkoły.

Zasada addytywna

Aplikacje

Ta zasada jest bardzo prosta i jest tak, że w przypadku kilku alternatyw do wykonania tej samej działalności możliwe sposoby składają się z suma różnych możliwych sposobów wykonywania wszystkich alternatyw.

Innymi słowy, jeśli chcemy wykonać aktywność z trzema alternatywami, w których pierwszą alternatywę można wykonać w formach M, drugie z N i ostatnie formy W, aktywność można wykonać z: M + N + … + W formularze.

Przykład

Wyobraź sobie, że tym razem osoba, która chce kupić rakietę tenisową. Aby to zrobić, masz trzy marki do wyboru: Wilson, Babolat lub głowa.

Kiedy idzie do sklepu, zobaczy, że rakieta Wilsona można kupić za pomocą rączki dwóch różnych rozmiarów, L2 lub L3 w czterech różnych modelach i może być związana lub bez haftowania.

Z drugiej strony rakieta Babolat ma trzy mango (L1, L2 i L3), istnieją dwa różne modele i można ją również wiązać lub bez haftu.

Tymczasem rakieta głowy jest tylko z mango, L2, w dwóch różnych modelach i tylko bez haftu. Pytanie brzmi: na ile sposobów ta osoba musi kupić swoją rakietę?

M = liczba sposobów wyboru rakiety Wilsona

N = liczba sposobów wyboru rakiety babolat

W = liczba sposobów wyboru stojaka na głowę

Wykonujemy zasadę mnożnika:

M = 2 x 4 x 2 = 16 form

N = 3 x 2 x 2 = 12 form

W = 1 x 2 x 1 = 2 formy

 M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 sposobów wyboru rakiety.

Wiedzieć, kiedy multiplikatywna zasada i dodatek muszą.

Permutacje

Aplikacje

Aby zrozumieć, czym jest permutacja, ważne jest, aby wyjaśnić, czym jest kombinacja, aby móc je różnicować i wiedzieć, kiedy z nich korzystać.

Kombinacją byłoby rozmieszczenie elementów, w których nie jesteśmy zainteresowani stanowiskiem, które zajmuje każdy z nich.

Z drugiej strony permutacja byłaby układem elementów, w których interesuje nas pozycja, którą zajmuje każdy z nich.

Może ci służyć: 7 wskaźników wzrostu gospodarczego i jego cech

Podajmy przykład, aby lepiej zrozumieć różnicę.

Przykład

Wyobraź sobie klasę z 35 uczniami i z następującymi sytuacjami:

1. Nauczyciel chce trzech jego uczniów, aby pomogli mu utrzymać klasę w czystości lub dostarczyć materiały innym uczniom, gdy.
2. Nauczyciel chce wyznaczyć delegatów klas (prezydent, asystent i finanse).

Rozwiązanie byłoby następujące:

1. Wyobraź sobie, że w głosowaniu Juan, María i Lucía są wybierani do czyszczenia klasy lub dostarczenia materiałów. Oczywiście mogły powstać inne grupy trzech osób, wśród 35 możliwych uczniów.

Musimy zadać sobie następujące czynności: Czy zamówienie lub stanowisko zajmowane przez każdego z uczniów ważne przy ich wyborze?

Jeśli się nad tym zastanowić, widzimy, że to naprawdę nie jest ważne, ponieważ grupa zajmie się tymi pracami w równym stopniu. W takim przypadku jest to połączenie, ponieważ nie jesteśmy zainteresowani pozycją elementów.

2. Wyobraźmy sobie teraz, że Juan jest wybrany na prezydenta, Marię jako asystent i Lucii jako finansowy.

W takim przypadku, czy zamówienie miałoby znaczenie? Odpowiedź brzmi tak, ponieważ jeśli zmienimy elementy, zmień wynik. To znaczy, jeśli zamiast stawiać Juana na prezydenta, stawiamy go jako asystent i Marię jako prezydent, końcowy wynik zmieniłby się. W takim przypadku jest to permutacja.

Po zrozumieniu różnicy uzyskamy wzory permutacji i kombinacji. Jednak zanim będziesz musiał zdefiniować termin „n!”(Ene Factorial), ponieważ będzie on używany w różnych formułach.

N!= do produktu od 1 do n.

N!= 1 x 2 x 3 x 4 x… x n

Używanie go z liczbami rzeczywistymi:

10!= 1 x 2 x 3 x 4 x… x 10 = 3628 800

 5!= 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 5 = 120

Formuła permutacji byłaby następująca:

Npr = n!/(N-r)!

Dzięki temu możemy dowiedzieć się, w których porządek jest ważny, i gdzie elementy są różne.

Kombinacje

Aplikacje

Jak wspomnialiśmy powyżej, kombinacje to ustalenia, w których nie dbamy o pozycję elementów.

Jego formuła jest następująca:

Ncr = n!/(N-r)!R!

Przykład

Jeśli jest 14 uczniów, którzy chcą być wolontariuszami do czyszczenia klasy, ile grup sprzątających można utworzyć, jeśli każda grupa musi mieć 5 osób?

Rozwiązanie byłoby zatem następujące:

N = 14, r = 5

14c5 = 14! / (14–5)!5! = 14! / 9!5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5!= 2002 Grupy

Może ci służyć: konto budynków lub budynków: co to jest przykład

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Źródło: Pixabay.com

Natalia jest zlecona przez matkę, aby udać się do sklepu spożywczego i kupić sodę, aby się ochłodzić. Kiedy Natalia pyta o picie zależne, mówi mu, że są cztery smaki napojów gazowanych, trzy typy i trzy rozmiary.

Smaki napojów bezalkoholowych mogą być: ogon, cytryna, pomarańczowa i mięta.

Rodzaje ogona napojów bezalkoholowych mogą być: normalne, bez cukru, bez kofeiny.

Rozmiary mogą być: małe, średnie i duże.

Matka Natalii nie określiła, jakiego rodzaju sody chce, ile sposobów musi kupić napój?

Rozwiązanie

M = rozmiar i liczba typu, którą możesz wybrać przy wyborze sody ogonowej.

N = numer rozmiar i typu, który możesz wybrać przy wyborze sody cytrynowej.

W = numer rozmiar i typu, który możesz wybrać przy wyborze pomarańczowej sody.

Y = numer rozmiar i typu, który możesz wybrać przy wyborze sody miętowej.

Wykonujemy zasadę mnożnika:

M = 3 × 3 = 9 formularzy

N = 3 × 3 = 9 formularzy

W = 3 × 3 = 9 formularzy

Y = 3 × 3 = 9 form

 M + N + W + Y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 sposobów wyboru sody.

Ćwiczenie 2

Źródło: Pixabay.com

Klub sportowy ogłasza warsztaty bezpłatnego dostępu, aby dzieci uczyły się jeździć na łyżwach. Zarejestrowanych jest 20 dzieci, więc dwie grupy dziesięciu osób decydują się na podzielenie, aby instruktorzy mogli zapewnić zajęom wygodniej.

Z kolei decydują się na pokonanie, która grupa upadnie każde dziecko. W liczbie różnych grup może wejść dziecko.

Rozwiązanie

W tym przypadku sposób na znalezienie odpowiedzi jest technika kombinacji, której formuła była: ncr = n!/(N-r)!R!

n = 20 (liczba dzieci)

  R = 10 (wielkość grupy)

20c10 = 20! / (20–10)!10! = 20! / 10!10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15x 14x 13x 12x 11x 10!/ 10!10!= 184.756 grup.

Bibliografia

1. Jeffrey, r.C., Prawdopodobieństwo i sztuka osądu, Cambridge University Press. (1992).
2. William Feller, „Wprowadzenie do teorii prawdopodobieństwa i jej zastosowań„, (Vol 1), 3rd ed, (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). „Logiczne podstawy i pomiar subiektywnego prawdopodobieństwa”. Akt psychologiczny.
4. Hogg, Robert V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Wprowadzenie do statystyki matematycznej (6 wyd.). Upper Saddle River: Pearson.
5. Franklin, j. (2001) Nauka o przypuszczeniu: dowody i prawdopodobieństwo przed Pascal,Johns Hopkins University Press.