Teleskopowe lato, w jaki sposób jest rozwiązane i rozwiązane ćwiczenia

podsumowanie Teleskopowy Jest to gałąź operacji z seriami numerycznymi. Zajmuje się podsumowaniami elementów od wartości początkowej do „n” wyrażeń, których argument jest spowodowany dowolnym z poniższych wzorców:

(F_X - F_x+1); F_x+1  - F_X)

Gdzie jego wyrażenie podsumowujące jest zdefiniowane w następujący sposób:

Również:

Źródło: Pixabay.com

Reprezentują sumę elementów, które podczas rozwoju podlegają odwołaniu przeciwnych terminów. Powodując następującą równość podsumowań teleskopowych:

Jego nazwa pochodzi od związku z pojawieniem się klasycznego teleskopu, który można złożyć i wdrażać, znacznie zmieniając jego wymiar. Podobnie podsumowania teleskopowe, które w ich naturze są nieskończone, można podsumować w uproszczonym wyrażeniu:

F₁ - F_N+1

[TOC]

Demonstracja

Opracowując sumę terminów, eliminacja czynników jest dość oczywista. Gdzie dla każdego z przypadków, przeciwne elementy pojawią się w następującej iteracji.

Pierwszy przypadek zostanie uznany za przykład (f_X - F_x+1), ponieważ proces działa homologicznie do (f_x+1-F_X).

Opracowanie pierwszych 3 wartości 1, 2, 3 obserwuje się tendencję uproszczenia

X₁     (F₁ - F₁₊₁) = F₁ - F₂

X₂     (F₂ - F₂₊₁) = F₂ - F₃

X₃     (F₃ - F₃₊₁) = F₃ - F₄

Gdzie wyrażając sumę opisanych elementów:

X₁ + X₂ + X₃ = F₁ - F₂ + F₂ - F₃ + F₃ - F₄

Obserwuje się, że warunki f₂ i f₃ Są one opisane z przeciwieństwami, co sprawia, że ​​ich uproszczenie jest nieuniknione. W ten sam sposób obserwuje się, że warunki f₁ i f₄ pozostać.

Jeśli suma została wykonana z x = 1 do x = 3, oznacza to ten element f₄ odpowiada ogólnemu terminowi F_N+1.

W ten sposób wykazując równość:

Jak to rozwiązuje?

Celem podsumowań teleskopowych jest ułatwienie pracy, aby nie było konieczne opracowanie nieskończonej ilości warunków lub uproszczenie zbyt długiego łańcucha.

Może ci służyć: metoda Trachtenberga: co to jest, przykłady

W przypadku rozdzielczości konieczne będzie ocena terminów f₁ i f_N+1. Te proste podstawienia stanowią ostateczny wynik sumy.

Całość terminów nie zostanie wyrażona, stając się niezbędna do wykazania wyniku, ale nie dla normalnego procesu obliczeniowego.

Ważne jest zauważenie zbieżności serii numerycznej. Czasami argument suma nie zostanie wyrażony w sposób teleskopowy. W takich przypadkach wdrażanie alternatywnych metod faktoryzacji jest bardzo powszechne.

Charakterystyczną metodą faktoryzacji w podsumowaniach teleskopowych jest proste ułamki. Dzieje się tak, gdy pierwotna frakcja rozkłada się na sumę kilku frakcji, w której można zaobserwować wzór teleskopowy (F_X - F_x+1) lub (f_x+1  - F_X).

Rozkład w prostych ułamkach

Aby zweryfikować zbieżność serii numerycznych, bardzo często przekształcanie wyrażeń racjonalnych za pomocą metody prostej frakcji. Celem jest modelowanie argumentu aż do formy podsumowania teleskopowego.

Na przykład następująca równość reprezentuje rozkład w prostych ułamkach:

Podczas opracowywania serii numerycznych i stosowania odpowiednich właściwości wyrażenie bierze w następujący sposób:

Gdzie można zobaczyć formę teleskopową (f_X - F_x+1).

Procedura jest dość intuicyjna i polega na znalezieniu wartości licznika, które bez łamania równości pozwalają na oddzielenie produktów w mianowniku. Równania, które powstają w określeniu tych wartości, są podniesione zgodnie z porównaniami obu stron równości.

Ta procedura jest obserwowana krok po kroku w opracowaniu ćwiczenia 2.

Może ci służyć: 6 zabawnych matematycznych zagadek dla dzieci

Historia

Niepewne jest zdefiniowanie historycznego momentu, w którym przedstawiono podsumowania teleskopowe. Jednak jego wdrożenie zaczyna być widoczne w XVII wieku, w liczbowych badaniach serii przeprowadzonych przez Leibniz i Huygens.

Obaj matematycy, badając podsumowania liczb trójkątnych, zaczynają zauważać trendy w zbieżności niektórych serii kolejnych elementów. Ale jeszcze bardziej interesujący jest początek modelowania tych wyrażeń, w elementach, które niekoniecznie się zdarzają.

W rzeczywistości wyrażenie używane wcześniej w odniesieniu do prostych frakcji:

Został przedstawiony przez Huygensa i natychmiast zwrócił uwagę Leibniza. Który z czasem może zaobserwować zbieżność do wartości 2. Nie wiedząc o tym, wdrożył podsumowanie teleskopowe.

Ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Zdefiniuj, który termin zbiega się następująca suma:

Gdy suma jest opracowywana ręcznie, obserwuje się następujący wzór:

(2³ - 2⁴) + (2⁴ - 2⁵) + (2⁵ - 2⁶)… (2¹⁰ - 2^jedenaście)

Gdzie czynniki z 2⁴ do 2¹⁰ Prezentują pozytywne i negatywne części, co sprawia, że ​​ich anulowanie jest widoczne. Wtedy jedyne czynniki, które nie zostaną uproszczone, będą pierwsze „2³„A i ostatni” 2^jedenaście".

W ten sposób, wdrażając teleskopowe kryteria podsumowujące, uzyskuje się:

Ćwiczenie 2

Przekształć argument w sumę typu teleskopowego i zdefiniuj zbieżność serii:

Jak wskazano w stwierdzeniu, pierwszą rzeczą będzie rozkład w prostych ułamkach, aby przemyśleć argument i wyrazić go w formie teleskopowej.

2 frakcje, których mianownikami są odpowiednio „N” i „N+1”, gdzie metoda zastosowana poniżej musi osiągnąć wartości licznika, które spełniają równość.

Wartości A i B są zdefiniowane. Powstaje pierwsza suma ułamków.

Może ci służyć: 60 dzielników

Następnie mianowniki są uproszczone i ustalono równanie liniowe.

W następnym etapie działa wyrażenie prawej, aż wzór porównywalny z „3” po lewej stronie.

Aby zdefiniować równania, które należy zastosować, należy porównać wyniki obu stron równości. Oznacza to, że żadne zmienne n wartości nie są obserwowane po lewej stronie, w ten sposób A +B będzie musiało być równe zero.

A + B = 0; A = -B

Z drugiej strony, stała wartość będzie musiała być równa stałej wartości 3.

A = 3

Dlatego.

A = 3 i b = -3

Już zdefiniowano wartości licznika dla prostych ułamków, suma przemyśla.

Gdzie osiągnięto już ogólną formę podsumowania teleskopowego. Seria teleskopowa została opracowana.

Gdzie dzieląc się przez bardzo dużą liczbę, wynik będzie coraz bardziej przybliża, obserwując zbieżność serii do wartości 3.

Innymi słowy, tego typu serii nie można rozwiązać z powodu nieskończonej ilości iteracji, które określają problem. Jednak ta metoda, wraz z wieloma innymi oprawą gałąź badań serii numerycznych, której celem jest określenie wartości zbieżności lub zdefiniowanie rozbieżności tych serii.

Bibliografia

1. Lekcje obliczeń nieskończoności. Manuel Franco, Manuel Franco Nicolás, Francisco Martínez González, Roque Molina Legaz. EDITUM, 1994.
2. Kompleksowe obliczenia: sukcesy i seria funkcji. Antonio Rivera Figueroa. Patria Editorial Group, 21 października. 2014.
3. Kurs rachunku różniczkowego i prawdziwej analizy. Sudhir r. Ghorpade, Balmohan V. Limaye. Springer Science & Business Media, 5 czerwca. 2006.
4. Infinite Series. Fort Tomlinson. The Clarendon Press, 1930.
5. Elementy teorii nieskończonych procesji. Lloyd Leroy Smail. McGraw-Hill Book Company, Incran, 1923.