Równanie dyrektora wektora, rozwiązane ćwiczenia

Aby zilustrować znaczenie tego równania Rysunek 3, w którym parametr T zmienia wartość i punkt Q  współrzędnych (X, y) Zajmij różne pozycje na linii.

Linia w formie wektorowej

Biorąc pod uwagę punkt P linii i jej dyrektora lub równanie linii można zapisać w formie wektorowej:

OQ = Op + λ⋅Lub 

W poprzednim równaniu, które jest dowolnym punktem, ale należy do linii i λ Prawdziwa liczba.

Równanie wektorowe linii ma zastosowanie do dowolnej liczby wymiarów, nawet można zdefiniować hiper-eret.

W trzech wymiarach dla wektora dyrektora Lub= (A, B, C) i punkt P = (xo, me, zo), Współrzędne punktu ogólnego Q = (x, y, z) Należąc do linii to:

(X i z) = (Xo, i, zo) + λ⋅ (a, b, c)

Przykład 2

Rozważ ponownie linię, która ma stanowisko dyrektora  

Lub = (a, b) = (2, -1) 

i jako znany punkt linii punkt 

P = (xo, me) = (1, 5). 

Równanie wektorowe tej linii to:

(X, y) = (1, 5) + λ⋅ (2, -1) 

Ciągła forma linii i dyrektora Vector

Zaczynając od formy parametrycznej, wyczyszczenie i dopasowanie parametru λ:

(X-xo)/a = (y-yo)/b = (Z-ZO)/C

To jest symetryczna forma równania linii. czuję to Do, B I C Są elementami reżysera wektora.

Przykład 3

Rozważ linię, która jest dyrektorem dyrektora  

Lub = (a, b) = (2, -1) 

i jako znany punkt linii punkt 

P = (xo, me) = (1, 5). Znajdź jego symetryczną formę.

Symetryczna lub ciągła forma jest z linii:

(X - 1)/2 = (y - 5)/( - 1)

Ogólna postać równania linii

Jest znana jako ogólna forma linii w płaszczyźnie XY do równania, że ​​ma następującą strukturę:

A⋅x + B⋅Y = C

Wyrażenie formy symetrycznej można przepisać, aby miała formę ogólną:

B⋅x - a⋅Y = b⋅xo - a⋅o

W porównaniu z ogólną formą linii pozostaje: 

A = b, b = -a i c = B⋅xo - A⋅o 

Przykład 3

Znajdź ogólną formę linii, której dyrektorem jest u = (2, -1)

 A co przechodzi przez punkt P = (1, 5).

Aby znaleźć ogólną formę, możemy użyć podanych wzorów, jednak zostanie wybrana ścieżka alternatywna.

Zaczynamy od znalezienia podwójnego wektora W wektora U, zdefiniowanego jako wektora uzyskiwanego przez wymianę składników U i mnożenie przez -1 drugiego:

W= (-1, -2)

Podwójny wektor W odpowiada rotacji w 90 ° w harmonogramie dyrektora v.

Mnożymy się wspinanie W z (X, y) i z (Xo, ja) I pasujemy:

(-1, -2) • (x, y) = (-1, -2) • (1, 5)

-X -2y = -1 -2⋅5 = -11

Wreszcie pozostanie:

X + 2y = 11

Standardowy kształt równania linii

Jest znany jako standardowa forma linii w płaszczyźnie XY, która ma następującą strukturę:

Y = m⋅x + d

gdzie M reprezentuje nachylenie i przechwycenie D z osą i.

Biorąc pod uwagę wektor reżysera u = (a, b), nachylenie M jest b/a.

I d otrzymuje się przez zastąpienie x i y znanym punktem XO, ja:

I = (b/a) xo + d.

Krótko mówiąc, m = b/a y d = me -(b/a) xo

Zauważ, że nachylenie M jest ilorazem między komponentem I dyrektora i komponentu X tego samego.

Przykład 4

Znajdź standardowy kształt linii, której dyrektorem jest u = (2, -1) 

A co przechodzi przez punkt P = (1, 5).

M = -½ i d = 5 -( -½) 1 = 11/2

Y = (-1/2) x + 11/2

Rozwiązane ćwiczenia

-Ćwiczenie 1

Znajdź dyrektora wektora linii (L), która jest przecięciem płaszczyzny (π): x - y + z = 3 i płaszczyzny (ω): 2x + y = 1.

Następnie napisz ciągłą formę linii (L).

Rozwiązanie

Z równania płaszczyzny (ω) klirens y: y = 1 -2x

Następnie zastępujemy w równaniu płaskim (π):

X - (1 - 2x) + z = 3 ⇒ 3x + z = 4 ⇒ z = 4 - 3x

Następnie parametryzujemy x, wybieramy parametryzację x = λ

Oznacza to, że linia ma równanie wektorowe podane przez:

(X, y, z) = (λ, 1 - 2λ, 4 - 3λ)

Można to przepisać jako:

(X, y, z) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)

Z tym, co jest jasne, że wektor Lub = (1, -2, -3) jest wektorem zarządzającym prostym (l).

Ciągła forma linii (L) to:

(X - 0)/1 = (y - 1)/( - 2) = (z - 4)/( - 3)

-Ćwiczenie 2

Biorąc pod uwagę płaszczyznę 5x + Do Y + 4z = 5 

i linia, której równanie to x/1 = (y-2)/3 = (z -2)/(-2)

Określić wartość Do tak że płaszczyzna i linia były równoległe.

Rozwiązanie 2

Wektor N = (5, a, 4) jest normalnym wektorem do płaszczyzny.

Wektor Lub = (1, 3, -2) to prosty menedżer.

Jeśli linia jest równoległa do płaszczyzny, to n • v = 0.

(5, Do, 4)• •(1, 3, -2) = 5 +3Do -8 = 0 ⇒ Do= 1.

Bibliografia

1. Fleming, w., & Varberg, D. I. (1989). Prealculus Mathematics. Prentice Hall ptr.
2. Kolman, ur. (2006). Algebra liniowa. Edukacja Pearsona.
3. Lojalny, j. M., & Viloria, n. G. (2005). Płaska geometria analityczna. Mérida - Wenezuela: Wenezuelan redakcja C. DO.
4. Navarro, Rocio. Wektory. Odzyskane z: książki.Google.współ.Iść.
5. Pérez, c. D. (2006). Prequalculus. Edukacja Pearsona.
6. Prenowitz, w. 2012. Podstawowe pojęcia geometrii. Rowman i Littlefield.
7. Sullivan, m. (1997). Prequalculus. Edukacja Pearsona.