notacja czynnikowa Służy do obliczenia produktu pierwszego N Liczby naturalne, to znaczy dodatnie liczby całkowite, zaczynając od 1 do wartości n. Jest oznaczony znakiem podziwu i nazywa się N silnia:

N! = 1⋅2⋅3… . (N-1) ⋅N

Obliczenie czynnika liczby jest proste, na przykład iloczyn pierwszych sześciu liczb naturalnych jest wyrażany przez:

6! = 1⋅2⋅3⋅4lystyka = 720

Rysunek 1. Notacja czynnikowa może być zapisana kompaktowa przez symbol produktu od k = 1 do n. Źródło: f. Zapata.

Czynniki pojawiają się w takich kwestiach, jak teoria dwumianowa i kombinatoryczna Newtona, która jest często wykorzystywana w obliczaniu prawdopodobieństwa. W nich często pojawiają się połączenia Liczby kombinatoryjne które można wyrazić jako czynnik.

Notacja N! Jest to stworzenie francuskiego lekarza i matematyki. Niezależnie, stwierdzenia zostały również odkryte przez innego francuskiego matematyka: Louis Arbogast (1759-1803), Kramp Contemporary.

Podobnie jak w przypadku podsumowań, istnieje sposób na wyrażenie produktu pierwszej liczby N naturalnych liczb w sposób podsumowujący:

 Symbol podobny do kapitałowej litery „PI”, która pojawia się w wyrażeniu, nazywa się „produkowaniem” lub „multiplikatorycznym”.

Właściwości notacji czynnikowej

Niech M i N Dwaj pozytywne liczby całkowite, spełnia się, że:

1. Przez wygodę zgodziło się zdefiniować 0! Jako równe 1, to jest: 0! = 1.
2. Wartość 1! = 1
3. Tak! = b!, Oznacza to, że a = b, pod warunkiem, że A⋅B ≠ 0. Wyjątkiem są wartości 0 i 1, od 1! = 1 = 0!, Jak wspomniano, ale jasne jest, że 1 ≠ 0.
4. tak m < n, entonces M! < N! i dlatego M! Jest zawarty w N!:
   N! = 1⋅2⋅ 3⋅ 4… (M -1) ⋅m… n
5. Dla n większych lub równych 2 musisz:
   N! = N⋅ (n-1)!
   Ponieważ zgodnie z definicją:
   N! = [1⋅2⋅3⋅ 4l⋅5… . (N-1)] ⋅N
   Wyrażenie zawarte w nawiasach kwadratowych jest dokładnie (N-1)!
6. N⋅n! = (n+1)! - N!
   Rzeczywiście, podniesienie działalności prawej strony równości:
   (N+1)! - N! =] . n] =
   = [1⋅2⋅3⋅ 4 ⋅ 5… . N] ⋅ [(n+1) - 1] = [1 ⋅2⋅3 4 ⋅5… . n] ⋅ n = n! ⋅ n

Może ci służyć: Radio zbieżności: definicja, przykłady i ćwiczenia rozwiązane

Współczynnik, pół-data lub quasi-facutorial

Półfalia liczby naturalnej zależy od tego, czy jest ona równa, czy dziwna. W notacji stosuje się podwójny znak podziwu lub podwójny czynnik i zdefiniowany przez następującą zasadę:

-Jeśli n jest równe:

N!! = 2⋅4⋅6⋅8… n

-Jeśli n jest dziwne:

N!! = 1⋅3⋅5⋅7… n

Formuły do ​​półfaktów

Następujące formuły pomagają łatwiej obliczyć półfakty, szczególnie jeśli chodzi o duże liczby.

Poniżej obserwuje się, że n jest nawet:

N!! = (2⋅1) ⋅ (2⋅2) ⋅ (2⋅3) ⋅ (2⋅4)… 2⋅ (N/2) = (2lig.…) ⋅ [1⋅2⋅3⋅4… (N/2)] =

= 2^(N/2) . (N/2)!

A jeśli n jest dziwne, to:

N!! = 1⋅3⋅5⋅7… n

Mnożenie i dzielenie jednocześnie przez [2 . 4 . 6… (n - 1)], wyrażenie pozostaje:

N!! = [1mero

Ale ilość między klawiszami wynosi:

Oku . (N -1) ⋅N

I to jest n!, Jak widać powyżej, podczas wymiany:

N!! = n! ÷ [2 ⋅ 4 ⋅ 6… (n -1)]

To, co jest na placu, jest przepisane w ten sposób:

[2 ⋅ 4 ⋅ 6… (n -1)] = 2^[(N-1)/2] ⋅ [(n-1)/2)]!

Dlatego:

N!! = n! ÷ [2 ⋅ 4 ⋅ 6… (n -1)] = n! ÷ 2^[(N-1)/2] ⋅ [(n-1)/2)]!

Przykłady

Powyższe właściwości są stosowane w celu uproszczenia wyrażeń zawierających czynnik, biorąc pod uwagę, że ogólnie następujące wyrażenia nie są równoważne:

1. (M ± N)! ≠ m! ± n!
2. (m x n)! ≠ m! x n!
3. (m ÷ n)! ≠ m! ÷ n!
4. (M^N)! ≠ (m!)^N
5. (M!)! ≠ m!!

Przykład 1

Przy bezpośrednim obliczeniu tych czynników:

do 5!

Może ci służyć: prawdopodobieństwo częstotliwości: koncepcja, jak jest obliczane i przykłady

b) 8!

c) 4!!

D) 11!!

e) 14!!

f) (2n+1)!!

Wartości są uzyskiwane:

do 5! = 5 . 4. 3. 2. 1 = 120

b) 8! = 8 . 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 40320

c) 4!! = 2⋅4 = 8

D) 11!! = 11⋅ 9 ⋅7⋅5⋅ 3⋅1 = 10395

e) 14!! = 14⋅12⋅10⋅8⋅6lysty = 645120

f) (2n+1)!! = 1⋅3⋅5⋅7… (2n-3) ⋅ (2n-1) ⋅ (2n+1)

Wyniki a) do e) można również potwierdzić za pomocą kalkulatora. Kalkulatory naukowe mają funkcję bezpośredniego obliczenia wartości x!.

Jak można zobaczyć, wyniki czynników, z wyjątkiem małych liczb, są wartościami, które rosną bardzo szybko.

Przykład 2

Następujące wyrażenia ułamkowe można uprościć przy użyciu właściwości:

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie rozwiązane 1

Sprawdź, przy użyciu wzoru współczynnika, wyniki te wcześniej uzyskane:

a) 11!! = 10395

b) 14!! = 645120

Rozwiązanie

Ponieważ 11 jest dziwne, wartości są starannie zastępowane w odpowiednim wzorze:

N!! = n! ÷ 2^[(N-1)/2] . [(N-1)/2)]!

A następnie wynik jest uproszczony przez właściwości czynników:

jedenaście!! = 11! ÷ 2^[(11-1)/2] . [(11-1)/2)]! = 11! ÷ 2^[(10)/2] . [(10)/2)]! = 11! ÷ 2⁵ . 5! = (11 . 10. 9. 8. 7. 6. 5!) ÷ [(32). 5!] = (11⋅10⋅9 ⋅ 8⋅7⋅6) ÷ 32 = 10395

Zgodnie z oczekiwaniami, ten sam wynik uzyskano, jak obliczenie 11!! Bezpośrednio jednak stosowanie formuły jest korzystne dla dużej wartości N, ponieważ pozwala wyrażać podwójny czynnik jako iloczyn dwóch czynników.

Rozwiązanie b

Stosując częściowo-czynnikową formułę dla N smar i zastępując wartości, uzyskano następujące:

14!!= 2^(14/2) ⋅ (14/2)! = 2⁷ ⋅ 7! = 128 × 5040 = 645120

Ćwiczenie rozwiązane 2

Napisz następujące operacje jako iloraz czynnikowy:

a) 7⋅6⋅5⋅4⋅3

B) N⋅ (n-1) ⋅ (n-2) ⋅ (n-3)

c) (n-1) ⋅ (n-2) .. .(N-9)

Rozwiązanie

7⋅6⋅5⋅4⋅3 = 7! / 2!

Rozwiązanie b

N⋅ (n-1) ⋅ (n-2) ⋅ (n-3) = n! / (N - 4)!

Rozwiązanie c

(N-1) ⋅ (n-2) .. .(N-9) = (n-1)! / (N-10)!

Ćwiczenie rozwiązane 3

Istnieją 4 kwadraty kolorów: niebieski, pomarańczowy, fioletowy i zielony, a ty chcesz się zlokalizować po drugiej na stole. Ile sposobów można umieścić kwadraty?

Może ci służyć: stała funkcja: cechy, przykłady, ćwiczenia Rysunek 2. Ile kombinacji można wykonać poprzez wyrównanie czterech kwadratów kolorów?. Wynik można wyrazić jako liczbę czynnikową Źródło: F. Zapata.

Rozwiązanie

Istnieje kilka sposobów pozbycia się kwadratów, na przykład ustalając najpierw kolor. Oto kilka opcji:

-Niebieski, pomarańczowy, fioletowy i zielony

-Niebieski, zielony, pomarańczowy i fioletowy

-Niebieski, fioletowy, zielony i pomarańczowy

I tak dalej. Czytelnik może sprawdzić, czy istnieje 6 kombinacji kwadratów, które zaczynają się od niebieskiego.

Zauważ, że po ustawieniu koloru jako pierwszej opcji możesz naprawić pozostałe 3 kolory. Po ustaleniu sekundy do wyboru jest 2 do wyboru, a po wybraniu tego koloru pozostaje tylko 1 kolor.

Można to wyrazić według produktu: 4l⋅3lCHHCHO1, który jest czynnikiem 4!:

4! = 4⋅3⋅2⋅1 = 24

Stwierdzono, że w sumie istnieją 24 możliwe kombinacje.

W ten sposób organizowanie nazywa się permutacja, w którym kolejność elementów są umieszczane.

Ćwiczenie rozwiązane 4

Rozwiąż następujące równania:

a) (x² + X)! = 720

Rozwiązanie

Na początku widziano, że 6! = 720, dlatego:

(X² + X)! = 6!

Następnie ilość między nawiasami musi wynosić 6:

X² + x = 6

Jest to równanie drugiego stopnia w X:

X² + x - 6 = 0

Równanie to można rozwiązać za pomocą ogólnego wzoru lub przez czynnik trinomialny.

Stosując tę ​​ostatnią metodę, trójmian jest faktoryzowany w następujący sposób:

X² + x - 6 = (x+3) ⋅ (x -2) = 0

Rozwiązania równań to x₁ = -3 i x₂ = 2

Rozwiązanie b

Zarówno licznik, jak i mianownik są czynnikiem, z widokiem na uproszczenie najwięcej, jakie może być wyrażenie. Na początek, w mianowniku możesz być czynnikiem (x+7)!

Dzięki temu można anulować termin (x+7)!, przebywający:

As (x+9)! = (x+9) ⋅ (x+8)! Mianownik można anulować i pozostaje:

(x+8)! = 14!

Właściwość 3 jest prostym równaniem:

x+8 = 14

x = 6

Bibliografia

1. Hoffman, J.G. Wybór problemów z matematyką. Wyd. SPPHINX.
2. Lipschutz, s. 2007. Matematyka dyskretna. Seria Schaum. 3. Wydanie. McGraw Hill.
3. Matematyka jest zabawna. Funkcja czynnikowa. Odzyskany z: Mathisfun.com.
4. Smartick. Czynnik, do czego ich używamy?. Odzyskany z: Smartick.Jest.
5. Stewart, J. 2006. Prefrecment: Matematyka do obliczania. 5. Wydanie. Cengage Learning.