Suma kwadratów dwóch kolejnych liczb

Wiedzieć Jaka jest suma kwadratów dwóch kolejnych liczb, Można znaleźć formułę, z którą wystarczy tylko zastąpić liczby zaangażowane w celu uzyskania wyniku. Ta formuła można znaleźć w ogólny sposób, to znaczy dla każdej pary kolejnych liczb.

Mówiąc „kolejne liczby”, domyślnie mówi, że obie liczby są liczbami całkowitymi. A kiedy mówi o „kwadratach”, każda liczba odnosi się do kwadratu.

Na przykład, jeśli uwzględniono liczby 1 i 2, ich kwadraty wynoszą 1² = 1 i 2² = 4, dlatego suma kwadratów wynosi 1 + 4 = 5.

Z drugiej strony, jeśli liczby 5 i 6 zostaną pobrane, ich kwadraty wynoszą 5² = 25 i 6² = 36, z którymi suma kwadratów wynosi 25 + 36 = 61.

Jaka jest suma kwadratów dwóch kolejnych liczb?

Celem jest teraz uogólnienie tego, co jest zrobione w poprzednich przykładach. W tym celu konieczne jest znalezienie ogólnego sposobu pisania liczb całkowitych i jej kolejnej liczby całkowitej.

Jeśli zaobserwowane są dwie kolejne liczby całkowitej, na przykład 1 i 2, można zauważyć, że 2 można zapisać jako 1+1. Ponadto, jeśli zaobserwowane są liczby 23 i 24, stwierdzono, że 24 można zapisać jako 23+1.

W przypadku negatywnych liczb całkowitych takie zachowanie można również zweryfikować. Rzeczywiście, jeśli są uważane za -35 i -36, widać, że -35 = -36 + 1.

Dlatego jeśli wybrana jest jakakolwiek liczba całkowita „N”, wówczas kolejna liczba całkowita do „N” jest „n+1”. Zatem ustanowiono już związek między dwoma kolejnymi liczbami całkowitych.

Jaka jest suma kwadratów?

Otrzymują dwa kolejne liczby całkowite „N” i „N+1”, a następnie ich kwadraty to „n²” i „(n+1) ²”. Korzystając z właściwości godnych uwagi produktów, ten ostatni termin można zapisać w następujący sposób:

(n+1) ² = n²+2*n*1+1² = n²+2n+1.

Wreszcie suma kwadratów dwóch kolejnych liczb jest podana przez wyrażenie:

n²+n²+2n+1 = 2n²+2n +1 = 2n (n+1) +1.

Jeśli poprzednia formuła jest szczegółowa, można zauważyć, że wystarczy, aby poznać najmniejszą całą liczbę „N”, aby wiedzieć, jaka jest suma kwadratów, to znaczy, wystarczy użyć najmłodszych z dwóch liczb całkowitych.

Inną perspektywą uzyskanego wzoru jest: wybrane liczby są mnożone, a następnie uzyskany wynik jest mnożony przez 2 i na koniec dodaje się 1.

Z drugiej strony pierwsze dodanie prawej jest liczbą parzystą, a dodając 1 wynik będzie nieparzystny. To mówi, że wynik dodania kwadratów dwóch kolejnych liczb będzie zawsze nieparzystą liczbą.

Można również podkreślić, że w miarę dodawania dwóch liczb cięć, ten wynik będzie zawsze pozytywny.

Przykłady

1.- Rozważ liczbę całkowitych 1 i 2. Cały najmłodszy to 1. Używając poprzedniego wzoru, stwierdza się, że suma kwadratów wynosi: 2*(1)*(1+1) +1 = 2*2+1 = 4+1 = 5. Który zgadza się z kontami złożonymi na początku.

2.- Jeśli liczby całkowite 5 i 6 zostaną pobrane, suma kwadratów wyniesie 2*5*6 + 1 = 60 + 1 = 61, co również pokrywa się z wynikiem uzyskanym na początku.

3.- Jeśli liczby całkowite są wybrane -10 i -9, wówczas suma ich kwadratów wynosi: 2*(-10)*(-9) + 1 = 180 + 1 = 181.

4.- Niech liczba całkowitych będzie tym razem -1 i 0, wówczas suma ich kwadratów jest podawana przez 2*(-1)*(0) + 1 = 0 +1 = 1.