System równań Metody rozwiązania, przykłady, ćwiczenia

Systemy ekologiczne Składają się z dwóch lub więcej równań z kilkoma zmiennymi, które muszą mieć wspólne rozwiązanie. Są one częste, ponieważ w praktyce istnieje wiele sytuacji, które zależą od wielu czynników, które są powiązane na kilka sposobów.

Zasadniczo układ równań ma następującą formę, w której każda funkcja reprezentuje jeden z warunków, które rozwiązanie musi spełnić:

Rysunek 1. System równań składa się z M funkcji i n niewiadomych. Źródło: f. Zapata.

Spójrzmy na przykład: Załóżmy, że musisz wyprodukować prostokątne arkusze papierowe, których obszar wynosi 180 cm² i mają obwód 54 cm. Jakie powinny być wymiary arkusza?

Aby odpowiedzieć na pytanie, bierzemy pod uwagę, że wymiary prostokątnego arkusza to dwa: szerokie i wysokie. Oznacza to, że mamy 2 zmienne, do których podamy zwykłe nazwy X I I.

I te zmienne muszą spełniać dwa warunki nałożone w tym samym czasie:

-Pierwszy warunek: obszar blaszki wynosi 180 cm². To będzie pierwsza funkcja: F₁.

-Drugi warunek: obwód lub kontur arkusza musi wynosić 54 cm. To jest druga funkcja F₂.

Dla każdego warunku równanie jest ustalane za pomocą języka algebraicznego. Obszar A prostokątnego arkusza uzyskuje się przez mnożąc szerokość:

A = x.y = 180 cm²

A obwód P wynika z dodania boków. Ponieważ obwód jest sumą boków:

P = 2x + 2y = 54 cm

System wynikający z dwóch równań i dwóch niewiadomych to:

Xy = 180

2 (x + y) = 54

Potrzebujemy dwóch liczb, których produkt wynosi 180 i że podwójny produkt jego suma wynosi 54, lub co to samo: dodane musi dać 27. Te liczby to 12 i 15.

W sekcji rozdzielonych ćwiczeń zaoferujemy szczegółową metodę znalezienia tych wartości, tymczasem czytelnik może łatwo zweryfikować wymianę, co skutecznie spełnia oba równania.

[TOC]

Przykłady zastosowań systemów równań

Sytuacja zaproponowana powyżej zawiera 2 zmienne, a co najmniej 2 równania są wymagane, aby je znaleźć. Istnieją systemy z wieloma kolejnymi zmiennymi, ale w każdym razie, jeśli system ma N Spośród nich, przynajmniej jest to wymagane N Niezależne równania (nie można być liniową kombinacją innych) w celu znalezienia rozwiązania, jeśli istnieje.

Może ci służyć: lina (geometria): długość, twierdzenie i ćwiczenia

Jeśli chodzi o aplikacje, są one liczne. Oto niektóre, w których systemy równań wykazują swoją przydatność:

-Znajdź prądy krążące przez obwód za pomocą przepisów Kirchoffa.

-W transporcie lądowym i lotniczym w celu ustanowienia harmonogramów wyjścia i przyjazdu.

-Znajdź wielkości sił w układach dynamicznych lub statycznych podlegających wielu interakcjom.

-Poznać ilość przedmiotów sprzedawanych przez określony czas lub w fabrykach, aby określić wymiary obiektów w celu spełnienia określonych warunków pod względem powierzchni lub objętości.

-Ustalając, jak podzielić kapitał w kilku inwestycjach.

-Ustal stawki za różne usługi, na przykład telekomunikacje lub programy i poznaj kwotę zebraną (patrz przykład rozwiązany 2)

Metody rozwiązania systemów równań

metoda zamiennika

-Wybierane jest równanie, a jedna ze zmiennych jest wyczyszczona.

-Następnie musisz wymienić zmienną Clear w innym równaniu. Wtedy ta zmienna znika stamtąd, a jeśli układ ma dwa równania i dwa niewiadome, istnieje równanie ze zmienną, która może już być jasna.

-Jeśli system ma więcej niż dwie zmienne, musisz wyczyścić trzecią nieznaną z innego równania i zastąpić go również.

Przykładem zastosowania tej metody jest rozstrzygnięty rok 1.

Metoda redukcji lub eliminacji

Ta metoda polega na dodawaniu lub odejmowaniu równań w celu wyeliminowania jednej lub większej liczby zmiennych i pozostawienia jednego. Aby to zrobić, wygodne jest pomnożenie równań przez współczynnik tak, że przez dodanie z innym równaniem nieznany znika. Spójrzmy na przykład:

3x² - I² = 11

Może ci służyć: środkowe miary tendencji dla zgrupowanych danych: formuły, ćwiczenia

X² + 4y² = 8

Mnożymy pierwsze równanie przez 4:

12x² - 4y² = 44

X² + 4y² = 8

Dodając je, nieznane znikają I, przebywający:

13x² = 52

X² = 4

Dlatego x₁ = 2 i x₂ = -2. Z tymi wartościami czytelnik może to zweryfikować i₁ = 1 i₂ = -1

Metoda wyrównania

Gdy system jest dwoma równaniami z dwoma niewiadomymi:

-Nieznany jest wybrany i wyczyści oba równania.

-Wyniki są wyrównane, co pozwala uzyskać pojedyncze równanie z jednym nieznanym.

-To równanie jest rozwiązane, a wynik jest zastąpiony w jednym z poprzednich rozliczeń, aby uzyskać wartość drugiego nieznanego.

Ta metoda zostanie zastosowana w roku rozwiązanym 2 następnej sekcji.

Metoda graficzna

Ta metoda polega na wykresie krzywych, które reprezentuje każde równanie. Punktem przecięcia jest rozwiązanie systemowe. Poniższy przykład pokazuje graficzne rozwiązanie systemu:

X² + I ² = 1

2x + 4y = 0

Rysunek 2. Rozwiązaniem graficznym jednoczesnego systemu równań jest znalezienie przecięcia krzywych. Źródło: Wikimedia Commons.

Pierwsze z równań to okrąg o promieniu 1 skupiony na pochodzeniu, a drugi to linia.

Przecięcie obu to dwa punkty pokazane na niebiesko. Czytelnik może sprawdzić, czy zastępując współrzędne punktów w powyższych równaniach, uzyskuje się równość.

Ćwiczenia

- Ćwiczenie rozwiązane 1

Musisz wyprodukować prostokątne arkusze o powierzchni 180 cm² i z obwodem 54 cm. Jakie powinny być wymiary arkusza?

Rozwiązanie

System do rozwiązania to:

Xy = 180

2 (x + y) = 54

Drugie równanie można uprościć do x + y = 27, dlatego:

Xy = 180

x + y = 27

Jeden z niewiadomych drugiego równania jest oczyszczony:

y = 27 - x

Przedśnik został zastąpiony w pierwszym:

(27 -x) = 180

Stosowanie nieruchomości dystrybucyjnej:

-X² + 27x = 180

Mnożenie przez (-1) po obu stronach równania i wysyłanie 180 na lewą stronę:

X² - 27x +180 = 0

Jest to równanie drugiego stopnia w X, które jest rozwiązywane przez wzór:

Może ci służyć: przeciwległe kątowe przez wierzchołek (z rozwiązanym ćwiczeniem)

Z a = 1, b = -27 i c = 180

 Rozwiązania to: x₁ = 15 cm i x₂ = 12, dlatego wymiary y są i₁ = 12 cm i i₂ = 15 cm.

- Ćwiczenie rozwiązane 2

Park rozrywki ma następujące stawki na wejście: Dzieci 1.5 i dorośli 4 USD. W ciągu jednego dnia było 2200 odwiedzających, zbierając 5050 USD. Znajdź liczbę dzieci i dorosłych, którzy odwiedzili park tego dnia.

Rysunek 3. System równań służy rozbiciu kolekcji parku rozrywki w ciągu jednego dnia. Źródło: Pixabay.

Rozwiązanie

Być X Liczba dzieci i I Liczba dorosłych. Możemy ustalić pierwsze równania, wiedząc, że suma obu musi wynosić 2200:

x + y = 2200.

Teraz idziemy z zebranymi pieniędzmi. Cena biletu dla dzieci wynosi 1.5 $ dla każdego dziecka, pomnożąc tę ​​wartość przez x, liczbę dzieci, będziemy mieli kwotę na wejście dziecka:

1.5x = pieniądze zebrane według biletów dla dzieci

A jeśli pomnożymy 4 USD na osobę dorosłą dla gości i dorosłych, całkowite pieniądze uzyskuje się przez wszystkich dorosłych:

4y = pieniądze zebrane według biletów dla dorosłych

Dodajemy to, aby uzyskać 5050 USD:

1.5x + 4y = 5050

Nasz system równań to:

x + y = 2200

1.5x + 4y = 5050

Rozwiążmy go przez wyrównanie. Wyczyścimy zmienną i pierwsze i drugie równanie:

y = 2200 - x

y = (5050 - 1.5 x) /4

Rówimy oba wyrażenia:

2200 - x = (5050 - 1.5x) /4

Mnożymy wszystko przez 4, aby wyeliminować ułamek:

8800 - 4x = 5050 - 1.5x

Grupujemy warunki z x po lewej i czyste liczby po prawej:

-4x + 1.5x = 5050 - 8800

-2.5x = -3750

x = 1500 dzieci.

Zastąpiamy tę wartość na y = 2200 - x, aby poznać liczbę dorosłych:

y = 2200 - 1500 = 700 dorosłych.

Bibliografia

1. CK-12. Układy równań i nierówności. Odzyskane z: CK12.org.
2. Hoffman, J. Wybór problemów z matematyką. Głośność 2.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Stewart, J. 2006. Prefrecment: Matematyka do obliczania. 5. Wydanie. Cengage Learning.
5. Zill, d. 1984. Algebra i trygonometria. McGraw Hill.