Losowe wybory z lub bez zamiennika

losowy wybór Polega na wyborze losowego, elementu lub próbki, na podstawie zestawu danych lub obiektów. Z wymianą oznacza zwrócenie elementu do oryginalnego zestawu, a bez wymiany oznacza, że ​​nie zwraca.

W pierwszym przypadku, gdy wybrany element powróci do zestawu pochodzenia, nie jest on modyfikowany, pozostawiając otwarcie możliwości, że wspomniany element jest wybierany więcej niż raz. W ten sposób można przeprowadzić nieskończone ekstrakcje w tej samej populacji, nawet jeśli składa się z N.

Ale jeśli wybór zostanie dokonany bez wymiany, oryginalny zestaw elementów zmienia się za każdym razem, gdy jakiś element jest wyodrębniony. A wyodrębnione elementy nie mają możliwości ponownego wyboru.

Ponieważ populacja maleje, liczba ekstrakcji, które można zrobić na niej, jest skończona.

Jeśli wielkość populacji N jest niewielka, istnieje znacząca różnica między wyborem losowych elementów z wymianą lub bez. Z drugiej strony, gdy n jest bardzo duża, różnica jest znacznie niższa, jak to będzie widać później.

Wybór z wymianą

Prawdopodobieństwo, że nastąpi określone zdarzenie X, to stosunek między liczbą korzystnych przypadków a całkowitymi przypadkami:

P (x) = korzystne/całkowite przypadki.

Jeśli populacja składa się z n różnych elementów: x₁, X₂, X₃… Prawdopodobieństwo wyboru elementu x₁ jest P (x₁) = 1/n.

Ponieważ istnieje wymiana, wielkość populacji pozostaje n, prawdopodobieństwo wyboru następnego elementu x₂ jest P (x₂) = 1/n.

W ten sam sposób każdy z pozostałych elementów ma takie samo prawdopodobieństwo wybrania:

Może ci służyć: stopień wielomianu: jak jest to ustalone, przykłady i ćwiczenia

P (x_N) = 1/n

Dlatego, będąc niezależnym zdarzeniami ze sobą, wspólne prawdopodobieństwo wystąpienia jest iloczynem prawdopodobieństwa każdego z nich:

P (x₁, X₂, X₃... X_N) = (1/n) × (1/n) ×… × (1/n)

Wybór bez wymiany

Wybierając określony element bez wymiany populacji o wielkości N, prawdopodobieństwo wybrania takiego elementu wynosi:

P (x₁) = 1/n

Po zrobieniu tego n - 1 elementy pozostają w populacji, dlatego prawdopodobieństwo wyboru następnego jest:

P (x₂) = 1/(n - 1)

Wybrany ten element, populacja składa się obecnie z n - 2 elementów, w tym przypadku prawdopodobieństwo wybrania następujących jest:

P (x₃) = 1/(n - 2)

I tak dalej. Prawdopodobieństwo jedynego elementu jest:

P (x_N) = 1/[n-(n-1)]

Wreszcie wspólne prawdopodobieństwo wyboru elementów x₁, X₂, X₃… W ramach próbki jest to produkt każdego z prawdopodobieństw:

P (x₁, X₂, X₃…) = 1/n × 1/(n-1) × 1/(n-2) ×… × 1/[n-(n-1)] = 1/[n × (n-1) × (n −2) ×… × [n-(n-1)]

Przykłady

W statystykach działanie wyboru próbki jest eksperymentem, zestaw możliwych wyników jest przestrzeń próbki, a wyniki eksperymentu stanowią zdarzenie.

Przykład 1

Dostępne jest pudełko z kulkami różnych kolorów: 12 czerwonych, 7 niebieskich i 5 zielonych. Eksperyment polega na wydobyciu jednego losowego marmuru.

W sumie w pudełku jest 24 kulki, z czego 12 jest czerwone, prawdopodobieństwo wyjęcia czerwonego marmuru, oznaczonego p (r), wynosi:

P (r) = 12/24 = 1/2 = 0.5

Po tym chcesz poznać prawdopodobieństwo wydobycia zielonego marmuru, to znaczy p (v).

Może ci służyć: suma kwadratów dwóch kolejnych liczb

Prawdopodobieństwo to zależy od tego, czy czerwony marmur, który został wyodrębniony w pierwszym miejscu, powraca do pudełka, czy nie. Jeśli czerwony marmur zostanie ponownie umieszczony w pudełku z innymi, wybór jest z wymianą lub wymianą, a w przeciwnym razie jest to wybór bez wymiany.

W wyborze z wymianą przestrzeń próbki się nie zmienia, nadal są 24 kulki w pudełku, a prawdopodobieństwo wydobycia zielonego marmuru wynosi:

P (v) = 5/24 = 0.dwadzieścia jeden

A jeśli początkowy czerwony marmur nie zostanie zwrócony do pudełka, w tym są 23 kulki, a prawdopodobieństwo wydobycia zieleni powinno być nieco większe:

P (v) = 5/23 = 0.22

Przykład 2

W innym eksperymencie z marmurowym pudełkiem chcesz obliczyć prawdopodobieństwo, że po wydobyciu dwóch marmurów pierwszy jest czerwony, a następny jest niebieski. Możesz kontynuować na dwa sposoby:

a) z wymianą

Oba zdarzenia są niezależne, to znaczy, że kolor marmuru wydobyty najpierw nie wpływa na prawdopodobieństwo uzyskania kolejnego marmuru określonego koloru.

P (RA) = (12/24) × (7/24) = 84/576 = 0.146

b) Brak wymiany

Opuszczając pierwszy marmur na zewnątrz, jeśli był to czerwony, prawdopodobieństwo wydobycia niebieskiego po raz drugi jest nieco większe:

P (RA) = (12/24) × (7/23) = 84/552 = 0.152

Przykład 3

Miasto ma 30.000 mieszkańców, z czego 15.423 to kobiety. Chcesz obliczyć prawdopodobieństwo, że wybierając dwóch mieszkańców, oba są kobietami.

a) z wymianą

Niech p (m) będzie prawdopodobieństwem, że wybranym mieszkańcem jest kobieta, więc:

P (m) = 15.423/30.000 = 0.51410

Może ci służyć: dlaczego algebra jest ważna w niektórych codziennych sytuacjach?

Tak więc prawdopodobieństwo, że wybrana przez drugą osobę jest również kobietą:

P (mm) = p (m) × p (m) = 0.5140² = 0.2643

b) Brak wymiany

Jeśli pierwsza wybrana osoba nie zostanie „zwrócona”, to prawdopodobieństwo wyboru kobiety w drugiej próbie jest:

P (m) = 15.422/29.999 = 0.51408

Nie ma znaczącej różnicy w poprzednim przypadku. I produkt 0.51410 × 0.51408 jest prawie równe 0.2643, czytnik może to sprawdzić za pomocą kalkulatora.

Ćwiczenie rozwiązane

Pudełko ma 5 wierzących zielonych, 2 wierzących niebieskich i 3 czerwonych wierzących, wszystkie nowe i identyczne. Określ prawdopodobieństwo, że wyodrębniając dwóch wierzących z pudełka, żaden z nich nie jest czerwony:

a) z wymianą. Czy te wydarzenia są niezależne?

b) bez wymiany, wskazując, czy zdarzenia są niezależne.

Rozwiązanie

W sumie 10 wierzy, z czego 3 są czerwone, a 7. Prawdopodobieństwo p (r^*), że pierwsza wierzy nie jest czerwona, to:

P₁(R^*) = 7/10 = 0.7

Uwierz jest zwracany do pudełka i dokonuje się drugiej ekstrakcji, z tym samym rezultatem:

P₂(R^*) = 7/10 = 0.7

Wydarzenia są zatem niezależne, prawdopodobieństwo, że w tym eksperymencie żadne przekonanie nie jest czerwone, to:

P₁(R^*) × p₂(R^*) = 0.7 × 0.7 = 0.49

Rozwiązanie b

Prawdopodobieństwo uzyskania przekonania, które nie jest czerwone w pierwszej próbie, jest takie samo jak w sekcji A). Ale w drugiej ekstrakcji w pudełku jest już 9 wierzących:

P₂(R^*) = 6/9 = 0.666 ..

W tym przypadku prawdopodobieństwo wydobycia wierzenia, które nie jest czerwone, wynosi:

P₁(R^*) × p₂(R^*) = 0.7 × 0.666… = 7/15 = 0.47

Wydarzenia nie są niezależne.