Klasyczne obliczenia prawdopodobieństwa, przykłady, rozwiązane ćwiczenia

Klasyczne prawdopodobieństwo Jest to szczególny przypadek obliczania prawdopodobieństwa zdarzenia. Jest zdefiniowany jako iloraz między zdarzeniami sprzyjającymi to zdarze. Klasyczne prawdopodobieństwo jest również znane jako prawdopodobieństwo a priori lub prawdopodobieństwo teoretyczne.

Chęć przewidywania rzeczy jest zawsze częścią ludzkiej natury: wszyscy zadajemy sobie pytanie, czy będzie padać następnego dnia, czy też pewna drużyna piłkarska zagra, czy nie w pierwszej lidze w następnym sezonie. Istnieją archeologiczne dowody na to, że ludzie grali w hazardu około 40.000 lat.

Definicja koncepcji klasycznego prawdopodobieństwa

Jednak pierwsza książka o prawdopodobieństwach jest spowodowana holenderskim astronomem Christianem Huygensem, który to nazwał Rozumowanie związane z grą kostki. Jak widzimy, klasyczne prawdopodobieństwo ma swoje początki w grach szansy.

Kości ma długą historię, jest to kawałek sześcienny, którego twarze są ponumerowane z punktami od jednego do sześciu. Uruchamiając tylko jedną uczciwą kostkę: jakie jest prawdopodobieństwo wyjścia, powiedzmy, pięć?

Jest to bardzo proste: istnieje tylko jedna twarz między 6 oznaczoną pięcioma punktami, dlatego prawdopodobieństwo p wynosi:

P = 1/6

[TOC]

Obliczanie w klasycznym prawdopodobieństwie

Ten sposób obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia jest zastosowaniem zasady Laplace'a, początkowo określonej w 1812 r. Przez francuskiego matematyka Pierre'a de Laplace'a (1749–1827).

Reguła Laplace stosuje się w klasycznym prawdopodobieństwie do obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia. Źródło: f. Zapata.

Być wydarzeniem, z którego chcemy znać jego prawdopodobieństwo wystąpienia p (a), a następnie:

P (a) = liczba przypadków korzystnych dla zdarzenia A / Liczba możliwych przypadków

Rezultatem tej operacji jest zawsze liczba dodatnia między 0 a 1. Jeśli zdarzenie ma prawdopodobieństwo wystąpienia, oznacza to, że tak się nie stanie.

Z drugiej strony, jeśli prawdopodobieństwo wystąpienia jest równe 1, oznacza to, że stanie się to w dowolnej formie, a w każdym przypadku prawdopodobieństwo nastąpi, że zdarzenie nastąpi, z prawdopodobieństwem, że tak się nie stanie, jest równe 1, jest równe 1 :

Tutaj oznaczyliśmy prawdopodobieństwo, że zdarzenie A nie wystąpi przez pasek na literach.

Może ci służyć: 10 rodzajów algorytmów i ich cech

Oczywiście, w kości prawnej, każda z 6 twarzy ma takie samo prawdopodobieństwo odejścia, dlatego prawdopodobieństwo uzyskania twarzy z 5 musi wynosić 1/6.

Ważny szczegół jest następujący: Aby zastosować zasadę Laplace'a, liczba możliwych przypadków musi być skończona, to znaczy musimy być w stanie je powiedzieć i uzyskać naturalną liczbę.

W przykładzie kości jest 6 możliwych przypadków i jedno korzystne zdarzenie. Zestaw możliwych przypadków jest wywoływany Przykładowa przestrzeń.

Podczas stosowania zasady Laplace wygodne jest dokładne przeanalizowanie przestrzeni próbki, w tym wszystkich możliwych zdarzeń, to znaczy, że musi być kompletna i uporządkowana, aby nie wymyśliło żadnego zdarzenia, które można uwzględnić.

Przestrzeń próbki i wydarzenia

Przestrzeń próbki jest zwykle oznaczona literą S lub Grecką List ω (Capital Omega) i była koncepcją wprowadzoną przez Galileusza.

Gracz Dice zapytał mądry, ponieważ trudniej jest uzyskać 9 startów trzech kości niż 10, a następnie Galileo obliczył możliwe sposoby uzyskania 9. W końcu obliczył odpowiednie prawdopodobieństwa, stwierdzając, że w efekcie p (9) < P (10).

Przykładowa przestrzeń z kilkoma elementami

Jeśli przestrzeń próbki składa się z kilku elementów, są one wymienione jako zestaw. Załóżmy na przykład, że chcesz znaleźć prawdopodobieństwo, że w rodzinie z dwójką dzieci oba są tej samej płci.

Możemy poprawnie zastosować klasyczne prawdopodobieństwo, określając przestrzeń próbki. Jeśli m = kobieta i h = mężczyzna, próbką przestrzeni dzieci jest:

S = (m, m), (h, h), (m, h), (h, m)

Każdy element przestrzeni próbki jest wydarzeniem, na przykład wydarzenie (M, M) oznacza, że ​​dwoje dzieci tej rodziny to kobiety.

Posiadanie przestrzeni próbki, obliczenie wymaganego prawdopodobieństwa jest bardzo proste, ponieważ między 4 są tylko 2 korzystne przypadki, więc oba dzieci są tej samej płci: (M, M) i (H, H), dlatego:

P (oba dzieci tej samej płci) = 2/4 = 0.5

Przykładowa przestrzeń z wieloma elementami

Kiedy przestrzeń próbki składa się z wielu elementów, lepiej podać ogólną zasadę, aby ją znaleźć. Na przykład, jeśli t jest okresem użytkowania zespołu, przestrzeń próbki to:

S = T∕T ≥ 0

Że brzmi to: „Wszystkie wartości T tak, że t jest większe lub równe 0”. Zdarzeniem tej przestrzeni może być to, że urządzenie ma okres użytkowania t = 2 lata.

Może ci służyć: stopień wielomianu: jak jest to ustalone, przykłady i ćwiczenia

Przykłady klasycznego prawdopodobieństwa

Klasyczne prawdopodobieństwo jest stosowane, pod warunkiem, że dwa wskazane powyżej przesłanki są spełnione, to znaczy:

-Wszystkie zdarzenia są równie prawdopodobne.

-Przestrzeń próbki jest skończona.

Dlatego istnieją sytuacje, w których nie można zastosować klasycznego prawdopodobieństwa, na przykład gdy chcesz przewidzieć, czy nowe leczenie wyleczy określoną chorobę, czy też prawdopodobieństwo, że maszyna wytwarza wadliwe elementy.

Z drugiej strony można go z powodzeniem zastosować w następujących przypadkach:

Początek

Klasyczne prawdopodobieństwo wynika z zainteresowania ludzi hazardem. Źródło: Pixabay.

Jak widzieliśmy, prawdopodobieństwo wyjścia pewnej twarzy jest równe 1/6.

Weź list z pokładu

Mamy 52 -kanałową talię francuskiego pokładu, składającą się z czterech kijów: serc, koniverów, diamentów i picas. Tak więc prawdopodobieństwo wydobycia serca, wiedząc, że jest 13 kart z każdego kija, wynosi:

P (serce) = 13/52

Wodowanie

Jest to typowy przykład klasycznego prawdopodobieństwa, ponieważ podczas uruchamiania waluty zawsze istnieje prawdopodobieństwo, że uzyskanie twarzy lub znaczków.

Wyciągnij kolory z torby 

Wewnątrz torby mogą znajdować się kolorowe kulki, na przykład są czerwone kulki, niebieskie kulki i zielone kulki. Prawdopodobieństwo wydobycia czerwieni to:

P (r) = r / n

Rozwiązane ćwiczenia

- Ćwiczenie 1

Po uruchomieniu uczciwej kości. Oblicz następujące prawdopodobieństwa:

a) Narysuj nieparzystą liczbę.

b) Niech 2 lub 5 wyjdzie.

c) osiągnąć wartość mniejszą niż 4.

d) uzyskać wartość mniejszą lub równą 4.

e) osiągnąć inną wartość 3

Rozwiązanie

Przykładowa przestrzeń to S = 1, 2, 3, 4, 5, 6, wartości nieparzystych wynoszą 1, 3 i 5, dlatego z 6 możliwych przypadków istnieją trzy korzystne przypadki:

P (nieparzyste) = 3/6 = 1/2 = 0.5

Rozwiązanie b

Chcemy wyodrębnić 2 lub 5, to znaczy którykolwiek z tych przypadków jest korzystny, dlatego:

P (2 lub 5) = 2/6 = 1/3 = 0.33

Rozwiązanie c

W takim przypadku są 3 korzystne zdarzenia: zdobądź 1, 2 lub 3:

P (mniej niż 4) = 3/6 = ½ = 0.5

Rozwiązanie d

Oto dodatkowe korzystne wydarzenie, ponieważ proszą nas o niższe lub równe wartości, które 4, następnie:

Może ci służyć: trójkąt acutangle

P (wartość mniejsza lub równa 4) = 4/6 = 2/3 = 0.67

Rozwiązanie e

Inne premiery 3 oznacza, że ​​pojawiły się każde z pozostałych wartości:

- Ćwiczenie 2

W pudełku znajduje się niebieski, zielona kulka, czerwona, żółta i czarna. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy zamknięciu kuli z oczami jest żółty?

Rozwiązanie

Wydarzenie „e” polega na wyjmowaniu piłki z pudełka z zamkniętymi oczami (jeśli wykonane jest to otwartymi oczami, prawdopodobieństwo wynosi 1) i że jest żółty.

Jest tylko jeden korzystny przypadek, ponieważ jest tylko jedna żółta kulka. Możliwe przypadki to 5, ponieważ w pudełku jest 5 piłek.

Dlatego prawdopodobieństwo zdarzenia „E” jest równe P (E) = 1/5.

Jak widać, jeśli zdarzenie ma wyjmować niebieską, zieloną, czerwoną lub czarną kulkę, prawdopodobieństwo będzie również równe 1/5. Dlatego jest to przykład klasycznego prawdopodobieństwa.

Obserwacja

Gdyby w pudełku były 2 żółte kulki, to p (e) = 2/6 = 1/3, podczas gdy prawdopodobieństwo wyjmowania niebieskiej, zielonej, czerwonej lub czarnej piłki byłoby równe 1/6.

Ponieważ nie wszystkie zdarzenia mają takie samo prawdopodobieństwo, więc nie jest to przykład klasycznego prawdopodobieństwa.

- Ćwiczenie 3

Jakie jest prawdopodobieństwo, że uruchomienie kości, uzyskany wynik jest równy 5?

Rozwiązanie

Jedna kostka ma 6 twarzy, każda z inną liczbą (1,2,3,4,5,6). Dlatego istnieje 6 możliwych przypadków i tylko jedna sprawa jest korzystna.

Tak więc prawdopodobieństwo, że podczas uruchamiania kości jest uzyskiwane 5, jest równe 1/6.

Ponownie prawdopodobieństwo uzyskania dowolnego innego wyniku kości jest również równe 1/6.

- Ćwiczenie 4

W klasie jest 8 chłopców i 8 dziewcząt. Jeśli nauczycielka losowo wybiera ucznia w swoim salonie, jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrany student jest dziewczyną?

Rozwiązanie

Wydarzenie „E” polega na wybraniu losowego ucznia. W sumie jest 16 studentów, ale jak chcesz wybrać dziewczynę, jest 8 korzystnych przypadków. Dlatego p (e) = 8/16 = 1/2.

Również w tym przykładzie prawdopodobieństwo wyboru dziecka wynosi 8/16 = 1/2.

To znaczy, jest tak prawdopodobne, że wybrany student jest dziewczyną jak chłopiec.

Bibliografia

1. Sierpień, a. Prawdopodobieństwo. University of Puerto Rico. Odzyskane z: Docs.UPRB.Edu.
2. Galindo, e. 2011. Statystyka: metody i zastosowania. Redaktorzy Proczenizacja.
3. Jiménez, r. 2010. Matematyka II. 2. Wydanie. Prentice Hall.
4. TRIOLA, m. 2012. Statystyka podstawowa. 11. Wydanie. Addison Wesley.
5. Sangaku Maths. Reguła Laplace'a. Odzyskany z: sangakoo.com.