Hierarchia operacji

Hierarchia operacji matematycznych. Źródło: f. Zapata.

Jaka jest hierarchia operacji?

Hierarchia operacji Matematyka składa się z serii zasad, które ustalają priorytet różnych operacji w obliczeniach. Niektóre operacje muszą zostać przeprowadzone jako pierwsze, a inne później, aby zagwarantować właściwy wynik.

Często zdarza się, że w tych samych obliczeniach istnieją symbole grupowania, sum, odejmowania, mnożenia, podziałów i mocy, a następnie warto zapytać, który z nich zaczyna się.

Na przykład w następującej operacji:

3 × 5 + 4 × (7–3)²

Jaka część tego jest pierwsza?

Aby uniknąć dwuznaczności, matematycy ustalili, że każda operacja ma inny poziom lub hierarchię, która wskazuje na kolejność jej realizacji, chociaż te same obliczenia niekoniecznie zawierają wszystkie poziomy.

W proponowanym przykładzie pierwszą operacją jest wyeliminowanie nawiasów, rozwiązanie wskazanej operacji, a następnie przeprowadzenie kwadratu, a następnie wykonanie mnożenia i wreszcie suma:

3 × 5 + 4 × (7–3)² = 3 × 5 + 4 × (4)² = 3 × 5 + 4 × 16 = 15 + 64 = 79

Przy odrobinie praktyki i pamięci pomagają zawsze uzyskać prawidłowy wynik w dowolnej operacji matematycznej.

Poziomy operacyjne: Pemdas

Hierarchia operacji składa się z 4 poziomów:

• Pierwszy poziom:  PArmentacja i inne znaki grupowania (jeśli istnieje)
• Drugi poziom: IXponenci i korzenie
• Trzeci poziom: MUltiplications i DIvisions
• Czwarty poziom:  DODyction i SUStractions

Należy zauważyć, że inicjały każdej operacji są podświetlane BOLD: P-E-MD-AS tworząc słowo Pemdas.

To słowo służy jako przypomnienie kolejności, w jakiej operacje muszą.

Po ustaleniu hierarchii zostanie przekazana seria wskazań do pracy z oznakami grupowania, a wreszcie wieloma przykładami i rozstrzygniętymi ćwiczeniami, które wyjaśniają każdy wyjaśniony punkt.

Operacje z oznakami grupowania i bez

Aby przeprowadzać operacje z oznakami grupowania i bez niego, wskazania te należy pamiętać:

• Symbole lub oznaki grupowania są używane do ułatwienia obliczeń, wyrażając określoną kolejność dla każdej operacji. Zaczyna się od rozwiązania operacji zawartych w najbardziej wewnętrznym znaku, który zwykle jest nawiasem, a następnie ten, który następuje i wreszcie. Najczęściej używane znaki grupy to: nawiasy (), nawiasy [] i klawisze .
• Przez cały czas należy wziąć pod uwagę prawo znaków i zastosować zgodnie z rodzajem wykonywanej operacji:
  • Grupa grupy poprzedzona znakiem A + jest eliminowana bez konieczności zmiany znaków treści. Przykład: + (2 + 7 - 10) = 2 + 7 - 10.
  • Gdy oznaki grupy poprzedzone znakiem zostaną wyeliminowane - musisz zmienić oznaki treści. Przykład: - (4 - 9 - 1) = −4 + ​​9 + 1.
• Cruz „×” symbole i średniej wysokości „∙”.
• Jeśli grupy nawiasów pojawiają się bez jakiegoś znaku między nimi, jest to mnożenie lub jeśli pojawia się liczba obok nawiasu, mnoży treść. Przykłady: (-5) (4) = −20 i 7 (5+1) = 42.
• Zarówno w przypadku mnożenia, jak i podziału, prawo znaków określa, że:
  • Produkt lub stosunek dwóch liczby równych znaków jest zawsze dodatni. Przykład: (−3) × (−4) = 12
  • Gdy masz produkt lub stosunek dwóch różnych znaków, wynik jest zawsze ujemny. Przykład: (-48) ÷ 6 = −8
• Gdy operacja nie ma oznak grupowania, kolejność tej kolejności: Najpierw wykładnicy i korzenie są rozwiązywane, jeśli istnieją, wówczas mnożenie i podziały, a na koniec sumę i odejmowanie.
• Operacje o tej samej hierarchii są przeprowadzane od lewej do prawej.

Może ci służyć: pobieranie próbek kwot: metoda, zalety, wady, przykłady

Przykłady krok po kroku

Przykłady użycia hierarchii operacji arytmetycznych w celu rozwiązania operacji

Przykład 1: Operacje bez grupowania znaków

Rozwiąż następujące operacje bez oznak grupowania:

a) 3 + 5 - 4 + 14

Ta operacja składa się tylko z sum i odejmowania, które są na tym samym poziomie i mogą działać jednocześnie, na przykład:

3 + 5 - 4 + 14 = 8 + 10 = 18

b) −8 + 3 × 4 + 31

Tutaj mnożenie 3 × 4 = 12 musi zostać najpierw rozwiązane, a następnie dodajemy, jakie wyniki z niego:

−8 + 3 × 4 + 31 = −8 + 12 + 31 = 35

c) 3³ - 44 + 2

Operacja zawiera zasilanie, więc jest rozwiązywana pierwsza 3³ = 27, a potem jakie wyniki:

3³ - 44 + 2 = 27 - 44 + 2 = - 15

D) 4 × 3 −4² + 10 ÷ 2 - 26

Ta operacja zawiera moc, mnożenie, podział i odejmowanie. Moc 4² = 16 idzie najpierw:

4 × 3–4² + 10 ÷ 2 - 26 = 4 × 3–16 + 10 ÷ 2 - 26

Następnie postępuj zgodnie z mnożeniem i podziałem 4 × 3 = 12 i 10 ÷ 2 = 5

4 × 3–16 + 10 ÷ 2 - 26 = 12–16 + 5 - 26

I dodano wynik:

12–16 + 5 - 26 = - 25

Przykład 2: Operacje z oznakami grupowania

Rozwiąż następujące operacje z symbolem grupowania, biorąc pod uwagę, że operacja, która obejmuje symbol, musi zostać najpierw wykonana, a następnie zastosuj prawo znaków.

a) 4 × 2 (3+6) ÷ 3

Nawias musi zostać najpierw wyeliminowany. Podczas rozwiązywania operacji zawierającej symbol, jest uzyskiwana:

4 × 2 (3+6) ÷ 3 = 4 × 2 (9) ÷ 3

W ten sposób uzyskuje się operację z produktem i ilorazem. Zauważ, że 2 poprzedzające nawias symbolizuje również produkt, chociaż symbol mnożenia nie pojawia się, dlatego można go napisać:

4 × 2 (9) ÷ 3 = 4 × 2 × 9 ÷ 3

Operacje te mają ten sam priorytet, więc są one rozwiązane w tym samym czasie, zaczynając od lewej do prawej:

Może ci służyć: Funkcja rozłożona: Charakterystyka, przykłady, ćwiczenia

= 72 ÷ 3 = 24

b) 5 + (2 + 3)² - 12 ÷ 3

Tutaj operacja jest przeprowadzana w nawiasie i oblicz moc:

5 + (2 + 3)² - 12 ÷ 3 = 5 + 5² - 12 ÷ 3 = 5 + 25 - 12 ÷ 3

Następnie przeprowadzany jest wskazany podział:

5 + 25 - 12 ÷ 3 = 5 + 25 - 4

Wreszcie sumy i odejmowanie:

5 + 25 - 4 = 30 - 4 = 26

c) 4 5 - [6 + (2 - 4)³ ÷ 2 + 20]

W tej operacji nawias jest najpierw rozwiązany, ponieważ jest to najbardziej wewnętrzny symbol grupy:

4 5 - [6 + (2 - 4)³ ÷ 2 + 20] = 4 5 - [6 + (−2)³ ÷ 2 + 20]

Teraz jest moc wewnątrz wspornika, która obejmuje negatywną liczbę całkowitą. Wiadomo, że jeśli podstawa jest ujemna, a wykładnik jest dziwny, wynik jest ujemny, więc najwygodniejsze jest rozwiązanie tej operacji:

4 5 - [6 + (−2)³ ÷ 2 + 20] = 4 5 - [6 + (−8) ÷ 2 + 20]

Następnie prawo znaków jest stosowane do ilorazu (-8) ÷ 2 = −8 ÷ 2 i pozostaje następujące:

4 5 - [6 + (−8) ÷ 2 + 20] = 4 5 - [6 - 8 ÷ 2 + 20]

W następnym etapie wspornik jest eliminowany, zauważając, że jest poprzedzony znakiem ujemnym, co oznacza, że ​​zawartość znaków w nawiasie powinna się zmienić:

4 5 - [6 - 8 ÷ 2 + 20] = 4 5 - 6 + 8 ÷ 2 - 20

Zauważono, że w nawiasach istnieje podział, który nie został jeszcze przeprowadzony i musi zostać wykonany, ponieważ klucze, jako symbol grupowania, wskazują, że ta operacja ma pierwszeństwo:

4 5 - 6 +8 ÷ 2 - 20 = 4 5 - 6 +4 - 20

Może ci służyć: godne uwagi produkty

Ponownie operacja między klawiszami ma pierwszeństwo:

4 5 - 6 +4 - 20 = 4 - 17

Ponieważ nie ma symbolu między 4 a ilością między klawiszami, jest to mnożenie:

4 - 17 = - 68

Rozwiązane ćwiczenia

Określ wynik następujących operacji:

a) 12 - 18 + [7 - 3 (4-7) + 2 - 15 ÷ 3] + 10-22 + 86

b) 4 (-2)⁵ + 3 (-3)² + √81 + [√16 - 2 (-6) + 3]

Rozwiązanie

12 - 18 + [7 - 3 (4-7) + 2 - 15 ÷ 3] +10 - 22 + 86 =

= 12 - 18 + [7 - 3 (-3) + 2 - 5] +10 - 22 + 86 =

= 12 - 18 + [7 + 9 + 2 - 5] +10 - 22 + 86 = 12 - 18 + 13 + 2 - 5 +10 - 22 + 86 =

= 12–16 + 86 = 82

Rozwiązanie b

4 (-2)⁵ + 3 (-3)² + √81 + [√16 - 2 (-6) + 3] =

= 4 × 32 + 3 × 9 + 9 + [4 +12 + 3] =

= 128 + 27 + 19 = 204

Bibliografia

1. Baldor, a. 2007. Praktyczna arytmetyka teoretyczna. Grupa redakcyjna Patria S.DO. c.V.
2. Ciesz się matematyką. Kolejność operacji Pemdas. Odzyskane z: FaveMatimaticas.com
3. Monterey Institute. Kolejność operacji. Odzyskane z: Montereyinstitute.org.
4. Chihuahua Technological University. Kurs wyrównywania matematyki. Odzyskane z: www.Utch.Edu.MX.