Intefined Integral Choroberies, zastosowania, obliczenia (przykłady)

Integral nieokreślony Jest to odwrotne działanie wyprowadzania i oznaczenie go, używany jest wydłużony symbol „S”: ∫. Matematycznie zapisana jest nieokreślona całka funkcji F (x):

∫f (x) dx = f (x) + c

Gdzie integrujący f (x) = f '(x) jest funkcją zmiennej X, który z kolei jest wyprowadzony z innej funkcji f (x), zwany całką lub antykiwacją.

Rysunek 1. Integral nieokreślony jest jednym z najpotężniejszych narzędzi do modelowania matematycznego. Źródło: Wikimedia Commons. Wallpoper / Public Domena.

Z kolei C jest stałą znaną jako Stała integracji, który zawsze towarzyszy wynikom nieokreślonej całki. Jego pochodzenie natychmiast zobaczymy przez przykład.

Załóżmy, że proszą nas o znalezienie następującej nieokreślonej całki i:

I = ∫x.Dx

Natychmiast identyfikuję f '(x) z x. Oznacza to, że musimy podać funkcję f (x), tak że jej pochodna jest x, coś, co nie jest trudne:

f (x) = ½ x²

Wiemy, że po wyprowadzeniu f (x) dochodzimy do f '(x), weryfikujemy to:

[½ x²] '= 2. (½ x) = x

Teraz funkcja: f (x) = ½ x² + 2 spełnia również wymaganie, ponieważ wyprowadzenie jest liniowe, a pochodna stałej wynosi 0. Inne funkcje, które po wyprowadzeniu powodują f (x) = to:

½ x² -1, ½ x² + piętnaście; ½ x² - √2…

I ogólnie wszystkie funkcje formy:

f (x) = ½ x² + C

Są to poprawne odpowiedzi na problem.

Każda z tych funkcji nazywa się antyodertywacyjną lub prymitywną f '(x) = x i jest dokładnie tym zbiorem wszystkich antyiderivative funkcji znanej jako całka nieokreślona.

Wystarczy znać jeden z prymitywnych, ponieważ jak widać, jedyną różnicą między nimi jest stała c integracji.

Może ci służyć: rozkład Poissona: wzory, równania, model, właściwości

Jeśli problem zawiera warunki początkowe, możliwe jest obliczenie wartości C, aby się do nich dostosować (patrz przykład rozwiązany później).

[TOC]

Jak obliczyć nieokreśloną całkę

W poprzednim przykładzie ∫x obliczono.DX, ponieważ funkcja f (x) była znana, że ​​po jej wyprowadzeniu, spowodowało to integrację.

Dlatego z najbardziej znanych funkcji i ich pochodnych można rozwiązać podstawowe całki.

Ponadto istnieją pewne ważne właściwości, które rozszerzają zakres możliwości podczas rozwiązywania całki. Być k Prawdziwa liczba, to prawda, że:

1.- ∫kdx = k ∫dx = kx + c

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

3.- ∫h (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

4.- ∫x^N Dx = [x^N+1/n + 1] + c (n ≠ -1)

5.- ∫x ^-1 Dx = ln x +c

W zależności od integracji istnieje kilka metod algebraicznych, a także numeryczne do rozwiązywania całek. Tutaj wspominamy:

-Zmiana zmiennej

-Zastąpienia algebraiczne i trygonometryczne.

-Integracja przez części

-Dekompozycja w prostych ułamkach w celu zintegrowania rodzaju racjonalnego

-Użycie tabel

-Metody numeryczne.

Istnieją całki, które można rozwiązać więcej niż jedną metodą. Niestety, nie ma unikalnego kryterium określenia a priori najskuteczniejszą metodą rozwiązania określonej całki.

W rzeczywistości niektóre metody pozwalają szybciej osiągnąć rozwiązanie niektórych całek niż inne. Ale prawda jest taka, że ​​aby zdobyć umiejętności, rozwiązując całki, musisz ćwiczyć z każdą metodą.

- Rozwiązany przykład

Rozwiązywać:

Rozwiązanie

Dokonajmy prostej zmiennej zmiany dla ilości subradical:

U = x-3

Z:

X = u+3

Wyprowadzanie obu stron na obu wyrażeniach:

Dx = du

Teraz zastępujemy integralną, którą będziemy oznaczyć jako I:

I = ∫x √ (x-3) dx = ∫ (u+3) (√u) du = ∫ (u+3) u^1/2 du

Może ci służyć: zmienna porządkowa

Stosujemy właściwość dystrybucyjną i mnożenie uprawnień o równej bazie i jest uzyskiwana:

I = ∫ (u^3/2 + 3 u^1/2) du

Dla właściwości 3 poprzedniej sekcji:

I = ∫ u^3/2 du +∫ 3U^1/2 du

Teraz stosuje się właściwość 4, która jest znana jako Reguła mocy:

Pierwsza integralna

∫ U^3/2 du = [u ^{3/2 + 1} / (3/2 + 1)] + c₁ =

= [u^5/2  / (5/2)] + c₁ = (2/5) u^5/2  + C₁

Druga całka

∫ 3U^1/2 du = 3 ∫u^1/2 du = 3 [u^3/2  / (3/2)] + c₂ =

= 3 (2/3) u^3/2  + C₂ = 2U^3/2  + C₂

Wtedy wyniki łączą się:

I = (2/5) u^5/2  + 2U^3/2  + C

Dwa stałe mogą zebrać się bez problemów. Wreszcie nie możemy zapomnieć o zwróceniu zmiany zmiennej, która została wcześniej wykonana i wyrazić wynik w kategoriach oryginalnej zmiennej x:

I = (2/5) (X-3)^5/2  + 2 (X-3)^3/2  + C

Możliwe jest uwzględnienie wyniku:

I = 2 (X-3) ^3/2 [(1/5) (x-3) +1] + c = (2/5) (x-3) ^3/2 (x + 2) + c

Aplikacje

Integral nieokreślony dotyczy na przykład wielu modeli w naukach przyrodniczych i społecznych:

Ruch

W rozwiązaniu problemów z ruchem, obliczenie prędkości mobilnej, znanej jego przyspieszenia i obliczania pozycji mobilnej, znanej jej prędkości.

Gospodarka

Na przykład przy obliczaniu kosztów produkcji i modelowaniu funkcji popytu.

Ćwiczenie aplikacyjne

Minimalna prędkość wymagana przez obiekt do ucieczki od lądowej przyciągania grawitacyjnego jest podana przez:

W tym wyrażeniu:

-v to prędkość obiektu, który chce uciec od ziemi

-I jest to odległość mierzona od środka planety

-M jest masą Ziemi

-G jest ciągłą grawitacją

Może ci służyć: rozkład normalny: wzór, cechy, przykład, ćwiczenie

Proszone jest znalezienie relacji między v I I, Rozwiązywanie całek nieokreślonych, jeśli obiekt jest przyznawany początkową prędkość v_albo A promień ziemi jest znany i nazywa się r.

Rysunek 2.- Sztuczny satelita sojuz. Jeśli zapewniona zostanie zbyt duża prędkość, uniknie nasilenia Ziemi, minimalna prędkość, aby tak się stało. Źródło: Wikimedia Commons.

Rozwiązanie

Przedstawiono nam dwa nieokreślone całki do rozwiązania reguł integracji:

Siema₁ = ∫v dv = v²/2 + C₁

Siema₂ = -GM ∫ (1/y²) dy = -GM ∫ i^-2 dy = -GM [i^-2+1/(-2 + 1)] + c₂ = GM. I^-1 + C₂

Rówimy i₁ i ja₂:

v²/2 + C₁ = GM. I^-1 + C₂

Dwa stałe mogą zebrać się w jednym:

Po rozwiązaniu całek stosujemy warunki początkowe, które są następujące: Gdy obiekt znajduje się na powierzchni Ziemi, znajduje się w odległości R od środka tego samego. W oświadczeniu mówią nam, że jest to odległość mierzona od środka ziemi.

A po prostu na powierzchni polega na tym, że początkowa prędkość jest wyposażona, z którymi ucieknie z przyciągania grawitacyjnej planety. Dlatego możemy ustalić, że v (r) = v_albo. W takim przypadku nic nie uniemożliwia nam zastąpienia tego stanu w wyniku, który właśnie uzyskaliśmy:

I od v_albo Jest znany, podobnie jak G, M i R, możemy wyczyścić wartość stałej integracji C:

Które możemy zastąpić w wyniku całek:

I wreszcie oczyszczamy v², prawidłowe faktorowanie się i grupowanie:

To jest wyrażenie, które odnosi się do prędkości v satelity, który strzelił z powierzchni planety (promień R) z początkową szybkością Vo, Kiedy jest w odległości I z centrum planety.

Bibliografia

1. Haeussler, e. 1992. Matematyka administracji i ekonomii. Grupa redakcyjna Iberoamerica.
2. Hiperfizyka. Prędkość ucieczki. Odzyskane z: Hthyperphysics.Phy-orst.GSU.Edu.
3. Larson, r. 2010. Obliczanie zmiennej. 9na. Wydanie. McGraw Hill.
4. Purcell, e. 2007. Obliczanie za pomocą geometrii analitycznej. 9na. Wydanie. Edukacja Pearsona.
5. Wolfram Mathworld. Przykład całek. Odzyskane z: Mathworld.Wolfram.com.