Właściwości funkcji logarytmicznej, przykłady, ćwiczenia

Funkcja logarytmiczna Jest to relacja matematyczna, która kojarzy każdą pozytywną liczbę rzeczywistą X Z logarytmem I na bazie Do. Ta relacja spełnia wymagania jako funkcję: każdy element X należący do domeny ma unikalny obraz.

Dlatego:

f (x) = y = log_Do X , Z> 0 i różni się od 1.

Rysunek 1. Wykres funkcji logarytmu dla podstawy 10 (zielony), podstawy E (czerwony) i podstawy 1.7 (fioletowy). Źródło: Wikimedia Commons.

Główne właściwości funkcji logarytmicznej to:

-Jego domena jest cała reais większa niż 0, a nie w tym 0. Innymi słowy, na żadnej bazie nie ma logarytmu ani liczb ujemnych. W formie interwału:

Słońce _F = (0, ∞+)

-Logarytm liczby może być ujemny, dodatni lub 0, dzięki czemu jego zasięg lub trasa wynosi:

RGO _F = (-∞, ∞+)

-Funkcja logarytmiczna zawsze rośnie dla> 1 i maleje<1.

-Odwrotność f (x) = log_Do X jest funkcją wykładniczą.

Rzeczywiście, funkcja logarytmu oparta na odwrotnej funkcji potencjalnej funkcji:

F^-1(x) = a^I

Od logarytmu opartych na oparciu o logarytm Do liczby X, To liczba I do którego należy wychować bazę Do Aby dostać X.

-Podstawowy logarytm wynosi zawsze 1. Zatem wykres f (x) = log_Do X Zawsze przecinają się z osą x w punkcie (1.0)

-Funkcja logarytmiczna to niedościgniony i nie można go wyrażać jako wielomianowy lub jako ich iloraz. Oprócz logarytmu grupa ta obejmuje funkcje trygonometryczne i wykładnicze, między innymi.

[TOC]

Przykłady

Funkcję logarytmiczną można ustalić za pomocą różnych zasad, ale najczęściej używane to 10 i I, Gdzie I Jest to liczba Eulera równa 271828 .. .

Gdy używana jest podstawa 10, logarytm nazywa się logarytmem dziesiętnym, logarytmem wulgarnym, briggs lub po prostu logarytmem do wyschnięcia.

A jeśli używana jest liczba E, to nazywa się Neperiański Logarytm, John Napier, szkocki matematyk, który odkrył logarytmy.

Może ci służyć: odwrotność multiplikatywna: wyjaśnienie, przykłady, rozwiązane ćwiczenia

Notacja użyta dla każdego z nich jest następująca:

-Logarytm dziesiętny: dziennik₁₀ x = log x

-Logarytm Neperiański: LN x

Kiedy będzie używana inna baza, jest to absolutnie konieczne. Na przykład, jeśli chodzi o logarytmy na bazie 2, jest napisane:

y = log₂ X

Spójrzmy na logarytm numer 10 w trzech różnych podstawach, aby zilustrować ten punkt:

Log 10 = 1

LN 10 = 2.30259

dziennik₂ 10 = 3.32193

Wspólne kalkulatory wprowadzają tylko logarytmy dziesiętne (log) i logarytm neperiański (funkcja LN). W Internecie znajdują się kalkulatory z innymi bazami. W każdym razie czytelnik może zweryfikować, z pomocą tego samego, że przy poprzednich wartościach jest spełnione:

10¹ = 10

I^2.3026 = 10.0001

2^3.32193 = 10.0000

Małe różnice dziesiętne wynikają z ilości dziesiętnych przyjętych w obliczeniach logarytmu.

Zalety logarytmów

Wśród zalet korzystania z logarytmów jest łatwość, jaką zapewniają duża liczba, używając ich logarytmu zamiast liczby.

Jest to możliwe, ponieważ funkcja logarytmu rośnie wolniej, ponieważ liczby są większe, ponieważ doceniamy w grafice.

Więc nawet w przypadku bardzo dużych liczb ich logarytmy są znacznie mniejsze, a manipulowanie małymi liczbami jest zawsze łatwiejsze.

Ponadto logarytmy spełniają następujące właściwości:

-Produkt: log (a.b) = log a + log b

-Iloraz: log (a/b) = log a - log b

-Moc: log a^B = b.log a

I w ten sposób produkty i iloraz stają się sumami i odejmowaniem mniejszych liczb, podczas gdy wzmocnienie jest przekształcane w prosty produkt, chociaż moc jest wysoka.

Właśnie dlatego logarytmy pozwalają wyrażać liczby, które różnią się w bardzo dużych zakresach wartości, takich jak intensywność dźwięku, pH roztworu, jasność gwiazd, opór elektryczny i intensywność trzęsień ziemi na Richter skala.

Może ci służyć: zewnętrzne alternatywne kąty: Ćwiczenia i ćwiczenia rozwiązaneRysunek 2. Logarytmy są używane w skali Richtera w celu oszacowania wielkości trzęsień ziemi. Obraz pokazuje budynek zawalony w Concepción, Chile, podczas trzęsienia ziemi w 2010 roku. Źródło: Wikimedia Commons.

Spójrzmy na przykład obsługi właściwości logarytmów:

Przykład

Znajdź wartość x w następującym wyrażeniu:

log (5x +1) = 1 + log (2x-1)

Odpowiedź

Mamy tutaj równanie logarytmiczne, biorąc pod uwagę fakt, że nieznany jest argument logarytmu. Jest to rozwiązywane, pozostawiając pojedynczy logarytm po każdej stronie równości.

Zaczynamy od umieszczenia wszystkich terminów zawierających „x” po lewej stronie równości i tych, które zawierają tylko liczby po prawej:

Log (5x+1) - log (2x -1) = 1

Po lewej stronie odejmujemy dwa logarytmy, które można zapisać jako logarytm ilorazu:

log [(5x+1)/ (2x-1)] = 1

Jednak po prawej stronie znajduje się numer 1, który możemy wyrazić jako log 10, jak widzieliśmy wcześniej. Więc:

log [(5x+1)/ (2x-1)] = log 10

Aby równość mogła się spełnić, argumenty Logarytmów musi być takie samo:

(5x+1)/ (2x-1) = 10

5x + 1 = 10 (2x - 1)

5x + 1 = 20 x - 10

-15 x = -11

x = 11/15

Ćwiczenie aplikacji: skala Richtera

W 1957 r. Trzęsienie ziemi miało miejsce w Meksyku, którego wielkość wynosiła 7.7 w skali Richtera. W 1960 r. Kolejne trzęsienie ziemi o większości wielkości miało miejsce w Chile, 9.5.

Oblicz, ile razy chilijski trzęsienie ziemi było bardziej intensywne niż Meksyk, wiedząc, że wielkość m_R W skali Richtera jest podawany przez formułę:

M_R = log (10⁴ SIEMA)

Rozwiązanie

Wielkość w skali Richtera trzęsienia ziemi jest funkcją logarytmiczną. Zamierzamy obliczyć intensywność każdego trzęsienia ziemi, ponieważ mamy wielkości Richtera. Zróbmy to krok po kroku:

Może ci służyć: liczby Primo: Charakterystyka, przykłady, ćwiczenia

-Meksyk: 7.7 = log (10⁴ SIEMA)

Ponieważ odwrotność funkcji logarytmu jest wykładniczy, stosujemy to po obu stronach równości z zamiarem wyczyszczenia I, który znajduje się w argumencie logarytmu.

Ponieważ są to logarytmy dziesiętne, podstawa wynosi 10. Więc:

W okresie prawej, 10 i log (10⁴ I) Są one anulowane (jak w przypadku kwadratu i korzenia kwadratowego), będąc: opuszczenie:

10 ^7.7 = 10⁴ Siema

Intensywność trzęsienia ziemi w Meksyku była:

Siema_M = 10 ^7.7 / 10⁴ = 10^3.7

 -Czerwony pieprz: 9.5 = log (10⁴ SIEMA)

Ta sama procedura prowadzi nas do intensywności chilijskiego trzęsienia ziemi i_Ch:

Siema_Ch = 10 ^9.5 / 10⁴ = 10^5.5

 Teraz możemy porównać obie intensywności:

Siema_Ch / SIEMA_M = 10^5.5 / 10^3.7 = 10^1.8 = 63.1

 Siema_Ch = 63.1. Siema_M

Trzęsienie ziemi w Chile było około 63 razy intensywniejsze niż Meksyk. Ponieważ wielkość jest logarytmiczna, rośnie wolniej niż intensywność, więc różnica 1 w wielkości oznacza 10 razy większą amplitudę fali sejsmicznej.

Różnica między wielkościami obu trzęsień ziemi wynosi 1.8, dlatego moglibyśmy oczekiwać różnicy w intensywnościach bliższych 100 niż 10, jak się wydarzyło.

W rzeczywistości, gdyby różnica była dokładnie 2, chilijskie trzęsienie ziemi byłoby 100 razy intensywniejsze niż meksykańskie.

Bibliografia

1. Carena, m. 2019. Podręcznik matematyki przednicznicy. National University of the Coast.
2. Figuera, J. 2000. Matematyka 1st. Zróżnicowany rok. Edycje CO-Bo.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Larson, r. 2010. Obliczanie zmiennej. 9na. Wydanie. McGraw Hill.
5. Stewart, J. 2006. Prefrecment: Matematyka do obliczania. 5. Wydanie. Cengage Learning.