Dyskretna zmienna losowa

Wyjaśniamy, jaka jest dyskretna zmienna losowa, jej cechy, podajemy przykłady i rozwiązywamy ćwiczenia

Jaka jest dyskretna zmienna losowa?

A Dyskretna zmienna losowa Jest to wartość numeryczna uzyskana losowo, w wyniku eksperymentu i która przyjmuje tylko skończone lub rachunkowe wartości. Oznacza to, że biorąc pod uwagę dwie kolejne wartości zmiennej, nie ma między nimi wartości pośredniej.

Przykładami zmiennych dyskretnych są liczba płatków kwiatu, liczba twarzy (lub krzyży) to jednocześnie dwie monety, liczba członków lub dzieci rodziny, liczba osób mieszkających w domu i wiele innych.

We wszystkich przypadkach wyniki przeprowadzania eksperymentu są rozliczanie. Można zdefiniować zmienną losową o nazwie „x = liczba dzieci rodziny”, a ta zmienna może przyjmować wartości 0, 1, 2, 3…

Tak więc, w przypadku ogólnym, dyskretna zmienna losowa jest identyfikowana przez:

X = x₁, X₂, X₃... X_k

Gdzie x₁, X₂, X₃... to możliwe wyniki eksperymentu.

Często jest zainteresowany znajomością prawdopodobieństwa wystąpienia każdego z tych możliwych wyników, oznaczonych jako:

P₁ = P (x = x₁)

P₂ = P (x = x₂)
.
.
.

I tak dalej dla każdej wartości x. Indeks „i” waha się od 1 do k: i = 1,2,3… k.

Ta lista, która zawiera prawdopodobieństwo każdego możliwego wyniku eksperymentu, jest wywoływana rozkład prawdopodobieństwa albo funkcja prawdopodobieństwa, pod warunkiem, że zmienna losowa jest numeryczna, prawdopodobieństwo każdego zdarzenia wynosi od 0 do 1, a suma wszystkich prawdopodobieństw jest równa 1.

Przykłady dyskretne zmienne losowe

Dyskretne zmienne losowe są zawsze numeryczne i rachunkowe. Zwykle mierzą liczbę przypadków zdarzenia, na przykład:

• Liczba połączeń otrzymanych przez centrum telefoniczne pewnego popołudnia.
• Kwota depozytów bankowych wykonanych w ciągu jednego dnia.
• Uruchom kostkę i przeczytaj liczbę, która pojawia się na górnej twarzy.
• Liczba twarzy, które pojawiają się podczas uruchamiania dwóch identycznych walut.
• Studenci, którzy zatwierdzili egzamin algebry I, losowo wybrani spośród grupy 100 studentów inżynierii z uniwersytetu.
• Dorośli członkowie stada słoni w rezerwacie Afryki.
• Liczba dzieci na rodzinę w określonym mieście.
• Ludzie uczestniczące w funkcji filmu o północy.
• Liczba samochodów, które przechodzą przez żniwo na autostradzie.

Może ci służyć: produkt Cruz

Wartości całości i ułamkowe

Wszystkie wspomniane dyskretne zmienne losowe przyjmują całe wartości. Jednak dyskretne zmienne losowe można zdefiniować z wartościami ułamkowymi, na przykład zmienną losową F podaną przez:

F = ułamek wadliwych kawałków poprzez losowe wybór 50 elementów losu

Możliwe wartości są następujące:

• Nie znaleziono wadliwego kawałka: F₁= 0
• Tylko 1 wadliwy kawałek 50: F₂= 1/50 = 0.02
• Dwa wadliwe elementy znajdują się w 50: F₃= 2/50 = 0.04
• I tak dalej, aż do przypadku, w którym 50 wybranych jest złe: F₅₁ = 50/50 = 1

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1: Zidentyfikuj dyskretne zmienne losowe

Mają losowe zmienne podane przez:

X = liczba trzęsień ziemi rocznie, miała miejsce w określonej strefie geograficznej

Y = Dokładna długość ludzkiej stopy

Z = rozmiar obuwia dla dorosłych

R = czas trwania wywołania do Centrum telefoniczne

Są wszystkie dyskretne zmienne losowe? Uzasadnić odpowiedź.

Rozwiązanie

Zmienne X i Z są dyskretne, ponieważ liczba trzęsień ziemi w ciągu roku jest kwotą rachunkową. Z drugiej strony wielkości obuwia są skończone, numerowanie może się różnić w zależności od kraju, na przykład 6, 6.5, 7 ..., ale jest to również skończona kwota.

Z drugiej strony dokładna długość ludzkiej stopy może przynieść dowolną wartość. Na przykład między dwojgiem ludzi, których stopa mierzy 23.5 i 23.8 cm, zawsze można znaleźć innego, którego miernik stopy, powiedz 23.6 cm. Ten typ zmiennej jest również losowy, ale kontynuuje.

Jeśli chodzi o czas, który trwa połączenie telefoniczne, nie jest to dyskretna zmienna, ponieważ istnieją nieskończone wartości między dwukrotnie t₁ oraz T₂ czas trwania.

Może ci służyć: liczby całkowitym

Ćwiczenie 2: Jednoczesne dwie monety

Eksperyment polega na jednoczesnym uruchomieniu dwóch identycznych walut, dla których zdefiniowana jest zmienna losowa x = liczba twarzy. Znajdować:

a) Wartości przyjmowane przez X.

b) Rozkład prawdopodobieństwa

Rozwiązanie

Możliwe wyniki eksperymentu są następujące: Brak drogi (dwa pieczęcie), A drogi i a foka, A foka i jeden drogi I wreszcie dwa twarze.

Odmawiając twarzy jako C i pieczęci jako S, wyniki są podsumowane w następujący sposób:

Ω = (s, s); (C, s); (S, c); (DC)

Ten zestaw jest znany jako Przykładowa przestrzeń.

Dlatego losowa zmienna x przyjmuje wartości: 0 (bez twarzy), 1 (jedna twarz w obu monetach) i 2 (była droga u obu monet). Ponieważ wyniki są rachunkowością, zmienna, oprócz losowej, jest dyskretna:

X = 0.1,2

Rozwiązanie b

Kiedy moneta zostanie uruchomiona, jeśli jest szczera, drogi albo foka Mają taką samą szansę na odejście, równe ½. Dlatego jeśli dwie monety zostaną uruchomione jednocześnie, ponieważ wyniki są niezależne, ponieważ monety nie wpływają na siebie, prawdopodobieństwo uzyskania dwóch stron (lub dwóch krzyży) mnożą prawdopodobieństwo każdego zdarzenia.

Jeśli uzyskane zostaną dwa krzyże, oznacza to, że żadna twarz nie wyszła:

P (2 krzyże = 0 powierzchni) = p (x = 0) = ½ ∙ ½ = ¼

Z drugiej strony prawdopodobieństwo kombinacji CS lub SC jest sumą dwóch korzystnych prawdopodobieństw:

P (1 twarz) = p (x = 1) = ¼ + ¼ = ½

Wreszcie prawdopodobieństwo uzyskania dwóch twarzy wynosi:

P (2 twarze) = p (x = 2) = ½ ∙ ½ = ¼

Należy zauważyć, że ten rozkład prawdopodobieństwa spełnia wymagania określone na początku:

Prawdopodobieństwo każdego zdarzenia wynosi od 0 do 1.

Dodając trzy prawdopodobieństwa, 1: ¼ + ½ + ¼ = 1

Może ci służyć: wektory Colineal Histogram pokazuje rozkład prawdopodobieństwa uruchomienia dwóch identycznych walut. W osi poziomej zmienna losowa jest umieszczana, środek paska odpowiada wartości zmiennej. A w osi pionowej prawdopodobieństwo jest umieszczane w tym przypadku procent. Źródło: f. Zapata.

Ćwiczenie 3: DRzucasz zrównoważone kości

Eksperyment polega na dwukrotnym rzuceniu zrównoważonym kości. Zdefiniowana zmienna losowa to:

X = liczba razy wychodzi 1

a) Wymień możliwe wyniki eksperymentu i określ wartości zmiennej losowej.

b) Znajdź rozkład prawdopodobieństwa.

Rozwiązanie

Ponieważ jest to zrównoważone kości, wszystkie twarze mają takie samo prawdopodobieństwo odejścia, a ponieważ kości jest kostką o sześciu twarzach, to prawdopodobieństwo jest równe 1/6.

Możliwe wyniki eksperymentu można zsyntetyzować w następujący sposób:

• Nie dostajesz 1 lub raz: x₁= 0
• 1 wychodzi tylko raz: x₂= 1
• Oba premiery to 1: x₃= 2

Dlatego zmienna losowa x jest dyskretna i ma trzy wartości:

X = 0.1,2

Rozwiązanie b

Jeśli chodzi o rozkład prawdopodobieństwa tej zmiennej, pierwszą rzeczą jest zauważenie, że zestaw wszystkich możliwych wyników składa się z 36 par, które stanowią przestrzeń próbki:

Ω = (1,1), (1.2), (1.3)… (1.6); (2,1), (2,2), (2,3); (3,1), (3,2), (3,3); (4.1), (4,2)… (4.6); (5,1), (5,2)… (5.6); (6,1), (6.2)… (6.6)

-Teraz te pary są liczone, w których 1 nie jest uzyskiwane:

X₁ = (X = 0) = (2,2), (2,3)… (2,6); (3,2), (3,3)…; (4.2), (4,3)…; (5,2), (5.3)…; (6.2), (6.3)…

W sumie istnieje 25 par, w których 1 nie wychodzi, dlatego prawdopodobieństwo uzyskania któregokolwiek z tych rówieśników wynosi:

P₁ = P (x = 0) = 25/36

-Następnie rówieśnicy, w których 1 pojawiają się tylko raz:

X₂ = (X = 1) = (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (3,1) ( 4.1), (5.1), (6,1)

Dlatego jest 10 par:

P₂ = P (x = 1) = 10/36 = 5/18

-Wreszcie jest tylko jedna para, w której 1 wychodzi dwukrotnie: (1,1). Więc:

P₃ = P (x = 2) = 1/36