Charakterystyka trójkąta, właściwości, formuły, obszar

A trójkąt równoboczny Jest to wielokąt trzyosobowy, w którym wszystkie są takie same; to znaczy mają tę samą miarę. Dla tej cechy otrzymano nazwę równobocznego (równe strony).

Trójkąty są wielokątami uważanymi za najprostsze w geometrii, ponieważ powstają trzy strony, trzy kąty i trzy wierzchołki. W przypadku trójkąta równobocznego, ponieważ posiadanie równych stron oznacza to, że jego trzy kąty będą również.

Przykład trójkąta równobocznego

[TOC]

Charakterystyka trójkątów równowagi

- Równe strony

Trójkąty równoboczne są płaskie i zamknięte, złożone z trzech linii linii. Trójkąty są klasyfikowane według ich cech, w odniesieniu do ich boków i kątów; Równoboczny został sklasyfikowany przy użyciu miary ich boków jako parametru, ponieważ są one dokładnie takie same, to znaczy są zgodne.

Trójkąt równoboczny jest szczególnym przypadkiem trójkąta Isosceles, ponieważ dwie jego strony są zgodne. Dlatego wszystkie trójkąty równoboczne są również izoscelesami, ale nie wszystkie trójkąty izoscelesowe będą równoboczne.

W ten sposób trójkąty równoboczne mają takie same właściwości trójkąta Isosceles.

Trójkąty równoboczne można również sklasyfikować według amplitudy ich wewnętrznych kątów jako równobocznego ostrego trójkąta, który ma wszystkie trzy strony i trzy kąty wewnętrzne z tą samą miarą. Kąty będą ostre, to znaczy będą mniej niż 90^albo.

- składniki

Ogólnie trójkąty mają kilka linii i punktów, które to komponują. Są używane do obliczania obszaru, boków, kąty, mediany, dwuwarstw, meditrix i wysokości.

• Mediana: Jest to linia, która odchodzi z punktu środkowego z jednej strony i osiąga przeciwny wierzchołek. Trzy media uczestniczą w punkcie o nazwie Barcentro lub Centroid.
• Bisektor: Jest to półtrwałe, które dzieli kąt wierzchołków na dwa kąty równej miary, więc jest znany jako oś symetrii. Trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii. W trójkącie równobocznym dwusa'a jest pobierany z wierzchołka kąta do przeciwnej strony, przecinając go w punkcie środkowym. Jesteś w punkcie nazywany zachęta.
• MediaTrix: Jest to segment prostopadły do ​​boku trójkąta, który pochodzi z tego środka. W trójkącie są trzy mediaci i zgadzają się w punkcie zwanym Circcentro.
• Wysokość: To linia przechodzi od wierzchołka do boku, która jest przeciwna, a także ta linia jest prostopadła do tej strony. Wszystkie trójkąty mają trzy wysokości, które pokrywają się w punkcie o nazwie Ortotenter.

Na poniższym wykresie obserwujemy trójkąt skaleny, w którym niektóre z wyżej wymienionych składników są szczegółowe

Widzimy wyraźnie komponenty, coś, co jest trudniejsze w trójkącie równobocznym, ponieważ niektórzy się zbiega. Wyjaśniamy je poniżej:

Bisektor, mediana i mediana są przypadkowe

Bisektor dzieli obok trójkąta na dwie części. W trójkątach równobocznych ta strona zostanie podzielona na dwie dokładnie te same części, to znaczy trójkąt zostanie podzielony na dwa przystające prostokąty trójkąty.

Zatem bisektor wyciągnięty z dowolnego kąta trójkąta równobocznego pokrywa.

Może ci służyć: Relacje proporcjonalne: koncepcja, przykłady i ćwiczenia

Przykład:

Poniższy rysunek pokazuje trójkąt ABC z połową D, który dzieli jedną z jego stron na dwa segmenty AD i BD.

Podczas rysowania linii od punktu D do przeciwnego wierzchołka, z definicji uzyskuje się medianę CD, która jest względna wierzchołka C i boku AB.

Ponieważ segment CD dzieli trójkąt ABC na dwa równe trójkąty CDB i CDA, oznacza to, że będzie to w przypadku zgodności: boku, kąta, boku, a zatem CD będzie również BCD Bisector.

Podczas rysowania segmentu CD kąt wierzchołka jest podzielony na dwa równe kąty 30^albo, Kąt wierzchołka A nadal mierzy 60^albo A linia CD tworzy kąt 90^albo Odnośnie środkowego punktu d.

Segment CD tworzy kąty, które mają tę samą miarę dla trójkątów ADC i BDC, to znaczy są dodatkowe w taki sposób, że miara każdej z nich będzie:

Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180^albo

2 _* Med. (ADC) = 180^albo

Med. (ADC) = 180^albo ÷ 2

Med. (ADC) = 90^albo.

I tak, segment CD jest również meditrix po stronie AB.

Bisektor i wysokość są przypadkowe

Kiedy dwusa'a śledzi się od wierzchołka kąta do punktu środkowego przeciwnej strony, dzieli to trójkąt równoboczny na dwa przystające trójkąty.

W taki sposób, że powstaje kąt 90^albo (prosty). Wskazuje to, że ten segment linii jest całkowicie prostopadły do ​​tej strony i z definicji ta linia byłaby wysokością.

W ten sposób bisektor dowolnego kąta trójkąta równobocznego, pokrywa się z wysokością względem przeciwnej strony tego kąta.

Orocentro, Barcentro, Inntro i Colecendro Coinsides

Ponieważ wysokość, mediana, dwusektor i media są reprezentowane jednocześnie przez ten sam segment, w trójkącie równobocznym punkty spotkań tych segmentów -Ortocentera, baryntera, incentratora i obrzezania -można znaleźć w tym samym punkcie:

Nieruchomości

Główną właściwością trójkątów równobocznych jest to, że zawsze będą one trójkąty Isosceles, ponieważ izosceli są tworzone przez dwie przystające strony i równowagę o trzy.

W ten sposób trójkąty równoboczne odziedziczyły wszystkie właściwości trójkąta Isosceles:

Kąty wewnętrzne

Suma kątów wewnętrznych jest zawsze równa 180^albo, A ponieważ wszystkie jego kąty są zgodne, więc każdy z nich będzie mierzy 60^albo.

Kąty zewnętrzne

Suma kątów zewnętrznych zawsze będzie równa 360^albo, Dlatego każdy kąt zewnętrzny będzie mierzy 120^albo. To dlatego, że kąty wewnętrzne i zewnętrzne są uzupełniające, to znaczy, dodając je, zawsze będą równe 180^albo.

Suma boków

Suma miar dwóch stron musi zawsze być większa niż miara trzeciej strony, to znaczy A + B> C, gdzie A, B i C są pomiarami z każdej strony.

Przystające strony

Trójkąty równoboczne mają swoje trzy strony o tej samej miary lub długości; to znaczy są przystające. Dlatego w poprzednim elemencie musisz = b = c.

Przystające kąty

Trójkąty równoboczne są również znane jako trójkątne trójkąty, ponieważ ich trzy wewnętrzne kąty są zgodne. Dzieje się tak, ponieważ wszystkie ich strony mają również tę samą miarę.

Może ci służyć: zmienna nominalna: koncepcja i przykłady

Jak obliczyć obwód?

Obwód wielokąta jest obliczany przez sumę boków. Podobnie jak w tym przypadku trójkąt równoboczny ma wszystkie swoje strony o tej samej miarie, jego obwód jest obliczany z następującym wzorem:

P = 3 _* strona.

Jak obliczyć wysokość?

Ponieważ wysokość jest linią prostopadłą do podstawy, dzieli ją na dwie równe części, rozciągając się na przeciwny wierzchołek. Zatem dwa trójkąty są tworzone równe prostokąty.

Wysokość (h) reprezentuje przeciwne Cateto (A), połowę strony prądu przemiennego do sąsiedniego Cateto (B), a strona BC reprezentuje hipotencję (C).

Za pomocą twierdzenia Pitagorasa można określić wartość wysokości:

Do² + B² = c²

Gdzie:

Do² = wysokość (h).

B² = boczny b / 2.

C² = strona a.

Zastępując te wartości w twierdzeniu Pitagoras i wyczyszczenie wysokości, jaką masz:

H² + ( l / 2)² = L²

H² +  L²/ 4 = L²

H² = L²  -  L²/ 4

H² = (4_*L² -  L²) / 4

H² =  3_*L² /4

√H² = √ (3_*L² /4)

Jeśli kąt utworzony przez przystające strony, wysokość (reprezentowana przez nogę) jest znana, można go obliczyć, stosując przyczyny trygonometryczne.

Kategorie nazywane są przeciwnymi lub sąsiadującymi w zależności od kąta, który jest traktowany jako odniesienie.

Na przykład na poprzedniej figurze Cateto H będzie przeciwne dla kąta C, ale w sąsiedztwie kąta B:

Zatem wysokość można obliczyć za pomocą:

Jak obliczyć boki?

Są przypadki, w których miary boków trójkąta nie są znane, ale ich wysokość i kąty uformowane w wierzchołkach.

Aby określić obszar w tych przypadkach, konieczne jest zastosowanie przyczyn trygonometrycznych.

Znając kąt jednego z jego wierzchołków, kategoria jest zidentyfikowana i stosuje się odpowiedni rozum trygonometryczny:

Zatem Cateto AB będzie przeciwny kątowi C, ale w sąsiedztwie kąta A. W zależności od boku lub nogi odpowiadającej wysokości, druga strona jest wyczyszczona w celu uzyskania wartości tego, wiedząc, że w trójkącie równobocznym trzy strony zawsze będą miały tę samą miarę.

Jak obliczyć obszar?

Trójkąty są zawsze obliczane za pomocą tego samego wzoru, mnożąc podstawę według wysokości i dzieląc przez dwa:

Obszar = (b _* H) ÷ 2

Wiedząc, że wzór jest podawany przez wzór:

Ćwiczenia

- Pierwsze ćwiczenie

Boki trójkąta równobocznego ABC mierzą 20 cm. Oblicz wysokość i powierzchnię tego wielokąta.

Rozwiązanie

Aby określić obszar tego trójkąta równobocznego, należy obliczyć wysokość, wiedząc, że podczas jej rysowania dzieli trójkąt na dwa równe prostokąty.

W ten sposób możesz użyć twierdzenia Pitagorasa, aby je znaleźć:

Do² + B² = c²

Gdzie:

A = 20/2 = 10 cm.

B = wysokość.

C = 20 cm.

Dane są zastępowane w twierdzeniu:

10² + B² = 20²

100 cm + B² = 400 cm

B² = (400 - 100) cm

B² = 300 cm

B = √300 cm

B = 17,32 cm.

To znaczy wysokość trójkąta wynosi 17,32 cm. Teraz można obliczyć dany obszar trójkąta poprzez zastąpienie wzoru:

Obszar = (b _* H) ÷ 2

Obszar = (20 cm _* 17,32 cm) ÷ 2

Może ci służyć: transformacje liniowe: właściwości, jakie są użycie, typy, przykłady

Obszar = 346,40 cm² ÷ 2

Obszar = 173,20 cm².

Kolejnym prostszym sposobem rozwiązania ćwiczenia jest zastąpienie danych w bezpośrednim wzorze obszaru, w którym wartość wysokości jest również domyślnie znaleziona:

- Drugie ćwiczenie

W polu, który ma kształt trójkąta równobocznego, kwiaty sadzą. Jeśli obwód tego terenu równy 450 m, oblicz liczbę mierników zajmujących kwiaty.

Rozwiązanie

Wiedząc, że obwód trójkąta odpowiada sumę jego trzech stron, a ponieważ teren ma kształt równoboczny trójkąt, trzy strony tego będą miały tę samą miarę lub długość:

P = strona + strona + strona = 3 _* L

3 _* L = 450 m.

L = 450 m ÷ 3

L = 150 m.

Teraz konieczne jest obliczenie wysokości tego trójkąta.

Wysokość dzieli trójkąt na dwa przystające prostokąty, w których jedna z kategorii reprezentuje wysokość, a drugą połowę podstawy. Zgodnie z twierdzeniem Pitagoras wysokość można określić:

Do² + B² = c²

Gdzie:

Do = 150 m ÷ 2 = 75 m.

C = 150 m.

B = wysokość

Dane są zastępowane w twierdzeniu:

(75 m)² + B² = (150 m)²

5.625 m + B² = 22.500 m

B² = 22.500 m - 5.625 m

B² = 16.875 m

B = √16.875 m

B = 129,90 m.

Zatem obszar, który będą zajmować kwiaty, będzie:

Obszar = b * h ÷ 2

Obszar = (150 m _* 129,9 m) ÷ 2

Obszar = (19.485 m²) ÷ 2

Obszar = 9.742,5 m²

- Trzecie ćwiczenie

Trójkąt równoboczny ABC jest podzielony przez segment linii, który przechodzi od jego wierzchołka C do punktu środkowego D, położonego po przeciwnej stronie (AB). Ten segment mierzy 62 metry. Oblicz obszar i obwód tego trójkąta równobocznego.

Rozwiązanie

Wiedząc, że trójkąt równoboczny jest podzielony przez segment linii, który odpowiada wysokości, tworząc w ten sposób dwa przystające prostokąty, to z kolei dzieli kąt wierzchołka C na dwa kąty o tej samej miarę, 30^albo każdy.

Wysokość stanowi kąt 90^albo W odniesieniu do segmentu AB i kąt wierzchołka, aby następnie zmierzyć 60^albo.

Następnie używając kąt 30 jako odniesienie^albo, Wysokość CD jest ustalana jako Cateto przylegająca do kąta i BC jako hipotenusa.

Na podstawie tych danych można określić wartość jednej ze stron trójkąta, stosując przyczyny trygonometryczne:

Jak w trójkącie równobocznym wszystkie strony mają dokładnie tę samą miarę lub długość, oznacza to, że każda strona trójkąta równobocznego ABC jest równa 71,6 metra. Wiedząc o tym, możliwe jest określenie twojego obszaru:

Obszar = b * h ÷ 2

Obszar = (71,6 m _* 62 m) ÷ 2

Obszar = 4.438,6 m² ÷ 2

Obszar = 2.219,3 m²

Obwód jest podawany przez sumę jego trzech stron:

P = strona + strona + strona = 3 _* L

P = 3_*L

P = 3 _* 71,6 m

P = 214,8 m.

Bibliografia

1. Álvaro rendón, do. R. (2004). Rysunek techniczny: Notatnik aktywności.
2. Arthur Goodman, L. H. ( 1996). Algebra i trygonometria z geometrią analityczną. Edukacja Pearsona.
3. Baldor, a. (1941). Algebra. Hawana: Kultura.
4. Barbosa, J. L. (2006). Płaska geometria euklidesowa. SBM. Rio de Janeiro, .
5. Coxford, a. (1971). Geometria Podejście transformacji. USA: Laidlaw Brothers.
6. Euclid, r. P. (1886). Elementy geometrii Euclida.
7. Héctor Trejo, J. S. (2006). Geometria i trygonometria.
8. León Fernández, G. S. (2007). Zintegrowana geometria. Metropolitan Technological Institute.
9. Sullivan, J. (2006). Algebra i trygonometria. Edukacja Pearsona.