Zasady pochodzenia (z przykładami)

Jakie są zasady pochodzenia?

Zasady Derrying Są zbiorem wskazań, które należy śledzić, aby znaleźć zwykłą pochodną funkcji zmiennej rzeczywistej f (x).

Zwykła pochodna funkcji f (x), oznaczona jako f '(x), jest interpretowana jako natychmiastowy kurs wymiany wspomnianej funkcji w odniesieniu do zmiennej x. Graficznie pochodna jest nachylenie linii stycznej do krzywej F (x), obliczona w danym punkcie, którego współrzędna wynosi x_albo, jak reprezentowano na poniższym rysunku.

Pochodna jako nachylenie stycznej linii do f (x) w danym punkcie. Źródło: Wikimedia enemos/Zmodyfikowane przez F. Zapata.

Teraz analitycznie pochodna jest obliczana na podstawie następującego limitu:

Tak więc za każdym razem, gdy wymagana jest pochodna niektórych funkcji, limit należy ocenić, jak wskazano. Istnieją jednak zasady deracji, które można łatwo zapamiętać przy niewielkiej praktyce i oszczędzają pracę obliczania limitu, co w niektórych przypadkach jest uciążliwe.

Jakie są zasady pochodzenia?

Zasady wyprowadzania pokazane poniżej są łatwo uzyskane poprzez formalną definicję pochodną.

1. Natychmiastowe pochodne

Pochodzący ze stałego

Pochodna stałej k wynosi 0:

f (x) = k ⇒ f '(x) = 0

• Przykład

f (x) = 5, a następnie f '(5) = 0

Pochodzący z x

Pochodna f (x) = x jest zawsze 1, to znaczy:

f (x) = x, a następnie f '(x) = 1

2. Wyprowadzona funkcja liniowa

Funkcja liniowa ma formę:

f (x) = ax

Gdzie A jest prawdziwą liczbą.

Jego pochodna to:

f '(x) = a

• Przykład

Niech f (x) = 3x, zatem:

f '(x) = 3

3. Pochodzący z suma

Jeśli f (x) jest sumą lub odejmowaniem dwóch funkcji u i v, oba różniwalne:

f (x) = u ± v

Więc:

f '(x) = u' (x) ± v '(x)

Pochodzący z powiązanej funkcji

Powiązana funkcja jest sumą dwóch terminów:

Może ci służyć: połączone operacje

f (x) = ax + b

Gdzie A i B są liczbami rzeczywistymi. Zastosowanie sumy:

f '(x) = (ax)' + (b) '

Ale:

(ax) '= a (reguła 2)

(b) '= 0 (reguła 1)

Dlatego:

f '(x) = a

• Przykład

Pochodna F (x) = −8x + 6 to:

f '(x) = (−8x)' + (6) '= −8

4. Pochodzący z mocy

Przypadek 1

Niech f (x) będzie potencjalną funkcją postaci f (x) = x^N, Więc:

f (x) = x^N ⇒ f '(x) = n ∙ x^{N - 1}

• Przykład

Po pochodzeniu:

f (x) = x³

Wynik:

f '(x) = 3⋅x^3–1 = 3x²

Przypadek 2

Jeśli funkcja ma formę f (x) = ax^N, Gdzie A jest prawdziwą liczbą, wychodzi z pochodnej:

f '(x) = a ∙ nx^{N - 1}

• Przykład

Czerpać:

f (x) = 4x⁵

Otrzymuje:

f '(x) = 4 ∙ 5 x^5-1 = 20x⁴

Przypadek 3

Jeśli wykładnik jest ułamkowy, przebiega w taki sam sposób, jak wyjaśniono go w przypadkach 1 i 2. Dzieje się tak, gdy zmienna x jest znaleziona jako argument korzenia.

• Przykład

Być funkcją:

f (x) = 3x^3/2

Pochodna to:

 Jeśli chcesz napisać w formie korzenia:

5. Produkt

Reguła produktu ma zastosowanie do funkcji w kształcie produktu między dwiema funkcjami U i V, oba różniwalne:

f (x) = u ∙ v

f '(x) = u' ∙ v + u ∙ v '

Oznacza to, że pochodna iloczyn dwóch funkcji jest pochodną pierwszej, przez drugą bez uzyskania, a także pierwszą bez uzyskiwania, pomnożoną przez pochodną drugiego.

• Przykład

Znajdź, zgodnie z regułą produktu i reguł opisanych powyżej, pochodna:

G (x) = (2x+3) (4x²-1)

Pierwszą rzeczą jest zdecydowanie, kim są u i v, pamiętając, że kolejność czynników nie zmienia produktu, można je wybrać w ten sposób:

• U = 2x+3
• V = 4x²−1

Następnie reguła produktu jest podnoszona, a wskazane pochodne są rozwiązywane, zgodnie z regułami opisanymi powyżej:

G '(x) = (2x+3)' (4x²−1) + (2x + 3) (4x²−1) '

Może ci służyć: programowanie liniowe: do czego to jest modele, ograniczenia, aplikacje

Musisz:

• (2x+3) '= 2
• (4x²−1) '= 8x

Zastąpienie:

G '(x) = 2x (4x²−1)+(2x+3) 8x

Pochodna jest już gotowa, ale wyrażenie może być czynnikiem:

G '(x) = 2x [4x²−1+8 (2x+3)] =

= 2x [4x²−1+16x+24] =

= 2x (4x²+16x+23)

Wynik ten można również uzyskać przez wcześniej stosowanie właściwości dystrybucyjnej do produktu (2x+3) (4x²−1), a następnie wykorzystanie reguł od 1 do 4. Pozostaje to jako ćwiczenie dla czytelnika.

6. Pochodzący z ilorazu

Być funkcją formy:

Ze stanem v ≠ 0 i że oba, u i v są różniczalne. W tym przypadku jego pochodna jest obliczana przez:

• Przykład

Znajdź pochodną:

W tym przykładzie musisz:

• U = x+1
• v = x²

Stosunek zasady ilorazu prowadzi do:

Dla którego konieczne jest zastąpienie następujących:

• (x+1) '= 1
• (X²) '= 2x
• (X²)² = x⁴

A podczas wymiany jest:

Zastosowanie właściwości dystrybucyjnej w licznikach i ograniczanie warunków, wyrażenie dla F '(x) jest:

Ćwiczenie mogło zostać rozwiązane w inny sposób, przepisując F (x) jako:

f (x) = (x+1) ∙ x⁻²

A następnie zastosowanie zasady produktu i algebry. Czytelnik pozostawia się jako ćwiczenie, aby sprawdzić, czy jest on uzyskiwany identyczny wynik.

7. Reguła łańcucha

Dotyczy funkcji złożonych, formularz:

f = f (u)

Gdzie u = g (x)

Jego pochodna jest przeprowadzana w następujący sposób:

f '(x) = f' (u) ∙ u '= f' [g (x)] ∙ g '(x)

G '(x) jest znany jako Pochodna wewnętrzna. Zastosowanie zasady łańcucha jest łatwiejsze niż na pierwszy rzut oka, zobacz ten przykład:

• Przykład

Zastosując zasadę łańcucha, znajdź pochodną:

f (x) = (2x²-1)⁷

u = g (x) = 2x²-1

Dlatego f (u) = u⁷ A jego pochodna, zgodnie z zasadą 4, to:

f '(u) = 7u⁶ = 7 (2x²-1)⁶

Ten wynik jest zapisywany i obliczany jest wewnętrzna pochodna g '(x):

G '(x) = u' = (2x²-1) '= (2x²) '-(1)'

Tutaj konieczne jest zastosowanie zasad sukcesu: 3 (dla sumy/odejmowania funkcji), 4 (dla mocy) i 1 (dla pochodnej stałej).

Może ci służyć: teoria kolejki: historia, model, do czego służy i przykłady

Otrzymuje:

G '(x) = (2x²) '-(1)' = 4x

Ostatnim krokiem jest pomnożenie wyników:

f '(x) = 7 (2x²-1)⁶∙ 4x

I na koniec zmień czynniki:

f '(x) = 28x ∙ (2x²-1)⁶

8. Pochodzący z funkcji trygonometrycznych

Pochodne funkcji trygonometrycznych to:

• Przykład

Czerpać:

H (x) = sin (4x)

Uzyskuje się u = 4x i stosowanie reguły łańcucha:

H '(x) = 4cos (4x)

9. Pochodzące z odwrotnych funkcji trygonometrycznych

Są one pokazane w poniższej tabeli:

• Przykład

Czerpać:

g (x) = arct tg (-2x)

Zawsze mając na uwadze zasadę łańcucha, u = -2x jest wykonywana, a pochodna to:

10. Pochodzący z funkcji wykładniczych i logarytmicznych

Funkcja wykładnicza

Jeśli podstawą jest liczba E:

f (x) = e^X ⇒ f '(x) = e^X

Gdy podstawa jest liczbą A:

f (x) = a^X ⇒ f '(x) = (ln a) ∙ a^X

Funkcja logarytmiczna

Po uzyskaniu funkcji logarytmu neperiańskiego:

f (x) = ln x

W przypadku logarytmu na innej bazie:

f (x) = log_Do X

• Przykład

Czerpać:

H (x) = x ∙ lnx

jedenaście. Pochodna niejawna

Są one używane, gdy klirens y (x) nie jest natychmiastowy, dlatego nie ma wyraźnego wyrażenia dla f (x), jak w poprzednich przypadkach. Mimo to możliwe jest znalezienie pochodnej za pomocą procedury, która jest zilustrowana w poniższym przykładzie:

• Przykład

Domyślnie czerpią następujące wyrażenie, aby znaleźć i: „:

4x³+11xy²−2Y³ = 0

Jak widać, nie jest łatwo znaleźć i w zależności od X bezpośrednio, więc aby znaleźć żądaną pochodną, ​​opisane są reguły, odnoszące się po obu stronach równości:

(4x³) '+ [11 (x)'+ 11x (i²) '] - (2Y³) '= 0 (zasada suma i zasada produktu)

Celem jest wyjaśnienie i ”, którym jest poszukiwana pochodna, dla której stosowana jest reguła łańcucha:

12x² + [11 + 11x ∙ 2yy '] - 6y²i '= 12x² + 11 + 22xy ∙ i ' - 6y² ∙ i '= 0

i '∙ (22xy - 6y²) + 12x² + 11 = 0