Permutacje bez formuł powtórzenia, demonstracja, ćwiczenia, przykłady

A Permutacja bez powtórzenia n elementów to różne grupy różnych elementów, które można uzyskać od nie powtarzania żadnego elementu, zmieniając tylko kolejność umieszczenia elementów.

Aby utworzyć permutację bez powtórzenia N. Na przykład: Załóżmy, że chcesz poznać liczbę permutacji lub liczby czterech różnych liczb, które można uformować przy numerze 2468 cyfr.

Aby dowiedzieć się liczby permutacji bez powtórzeń, stosuje się następującą formułę: 

Pn = n! 

Które rozszerzyłyby się Pn = n!  = N (n - 1) (n - 2)… (2) (1).

Tak więc w poprzednim praktycznym przykładzie miałoby to zastosowanie w następujący sposób:

P4 = 4*3*2*1 = 24 różne liczby 4 cyfr.

Są to w sumie 24 ustalenia: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8426, 8426 8462, 8624, 8642.

Jak widać, w żadnym wypadku nie ma powtórzenia, ponieważ mają 24 różne liczby.

[TOC]

Demonstracja i formuły

24 układy 4 różnych liczb

Bardziej szczegółowo przeanalizujemy przykład 24 różnych układów 4 liczb, które można utworzyć za pomocą liczby 2468 cyfr. Ilość ustaleń (24) może być znana w następujący sposób:

Masz 4 opcje, aby wybrać pierwszą cyfrę, która pozostawia 3 opcje, aby wybrać drugi. Zostały już ustawione dwie cyfry, a 2 opcje zostaną, aby wybrać trzecią cyfrę. Ostatnia cyfra ma opcję wyboru.

Dlatego liczba permutacji, oznaczona przez P4, jest uzyskiwana przez iloczyn opcji wyboru w każdej pozycji:

P4 = 4*3*2*1 = 24 różne liczby 4 cyfr

Ogólnie rzecz biorąc, liczba różnych permutacji lub ustaleń, które można dokonać ze wszystkimi n elementami danego zestawu, wynosi:

Pn = n!  = N (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

Wyrażenie n!  Jest znany jako czynnik i oznacza produkt wszystkich naturalnych liczb między liczbą N i numer jeden, w tym oba.

12 układów 2 różnych liczb

Załóżmy teraz, że chcesz znać liczbę permutacji lub liczby dwóch różnych liczb, które można utworzyć przy liczbie 2468 cyfr.

Może ci służyć: suma teleskopowa: jak jest rozwiązane i rozwiązane ćwiczenia

Byłoby to łącznie 12 ustaleń: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86

Masz 4 opcje, aby wybrać pierwszą cyfrę, która pozostawia 3 cyfry do wybrania drugiego. Dlatego liczba permutacji 4 cyfr pobranych z dwóch przez dwa, oznaczone przez 4p2, jest uzyskiwana przez iloczyn opcji wyboru w każdej pozycji:

4p2 = 4*3 = 12 różnych liczb 2 cyfr

Ogólnie rzecz biorąc, liczba różnych permutacji lub ustaleń, które można wykonać za pomocą elementów n w sumie w danym zestawie, wynosi:

Npr = n (n - 1) (n - 2)… [n - (r - 1)]

Poprzednie wyrażenie jest obcinane przed odtworzeniem n!.  Aby ukończyć n!  Z tego powinniśmy napisać:

N!  = N (n -1) (n -2)… [n -(r -1) (n -r)… (2) (1)

Czynniki, które z kolei dodamy, reprezentują czynnik:

(n -r)… (2) (1) = (n -r)!

Dlatego,

N!  = N (n - 1) (n - 2)… [n - (r - 1) (n - r)… (2) (1) = n (n - 1) (n - 2)… [n - ( R -1)] (n -r)!

Stąd

N!/(N -r)!  = N (n - 1) (n - 2)… [n - (r - 1)] = npr

Przykłady

Przykład 1

Ile kombinacji liter innych można zbudować za pomocą liter słów kluczowych?

Chcesz znaleźć liczbę kombinacji liter innych niż 5 liter, które można zbudować za pomocą 5 liter słowa kluczowego; to znaczy liczba 5 -liter, które obejmują wszystkie litery dostępne w słowie kluczowym.

N ° 5 -literowe słowa = p5 = 5!  = 5*4*3*2*1 = 120 kombinacji liter różni się od 5 liter.

Byłyby to: Key, Velac, LCAEV, VLEAC, ECVLAC ... do 120 kombinacji różnych liter.

Przykład 2

Masz 15 numerowanych piłek i chcesz wiedzieć, ile innych grup 3 piłek można zbudować z 15 numerami numerowanymi?

Chcesz znaleźć liczbę grup 3 piłek, które można wykonać za pomocą 15 numerowanych piłek.

Liczba grup 3 piłek = 15p3 = 15!/(15–3)!

N ° grup o 3 piłek = 15*14*13 = 2730 grup po 3 piłkach

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Sklep z owocami ma stanowisko wystawowe, które składa się z rzędu przedziałów znajdujących się w hali wejściowej do pomieszczeń. W ciągu jednego dnia sklep z owocami nabywa na sprzedaż: pomarańcze, banany, ananasy, gruszki i jabłka.

Może ci służyć: Fourier Transform: właściwości, aplikacje, przykłady

a) Ile różnych sposobów musisz zamówić stanowisko wystawowe?

b) Ile różnych form musi zamówić stanowisko, jeśli oprócz wyżej wymienionych owoców (5), otrzymano w tym dniu: mango, brzoskwinie, truskawki i winogrona (4)?

a) Chcesz znaleźć liczbę różnych sposobów zamawiania wszystkich owoców w wierszu wystawowym; to znaczy liczba ustaleń 5 przedmiotów owocowych, które obejmują wszystkie owoce dostępne w tym dniu.

Numer ustaleń dotyczących stanowiska = p5 = 5!  = 5*4*3*2*1

Numer ustaleń dotyczących stojaka = 120 sposobów prezentacji stoiska

b) chcesz znaleźć liczbę różnych sposobów zamawiania wszystkich owoców w wierszu wystawowym, jeśli dodano 4 dodatkowe elementy; To znaczy liczba ustaleń 9 przedmiotów owocowych, które obejmują wszystkie owoce dostępne w tym dniu.

Ustalenia dotyczące stanowiska nr! = 9*8*7*6*5*4*3*2*1

Ustalenia dotyczące stojaka nr 362.880 sposobów przedstawienia stanowiska

Ćwiczenie 2

Małe miejsce sprzedaży żywności ma dużo ziemi z wystarczającą ilością miejsca do zaparkowania 6 pojazdów.

a) Ile różnych form pojazdów na działce lądowej można wybrać?

b) Załóżmy, że nabywana jest przylegająca partia ziemi, której wymiary umożliwiają zaparkowanie 10 pojazdów, ile różnych form zamawiania pojazdów można teraz wybrać?

a) Chcesz znaleźć liczbę różnych sposobów zamawiania na działce gruntowej 6 pojazdów, które można pokonać.

N ° układów 6 pojazdów = p6 = 6! = 6*5*4*3*2*1

N ° ustaleń 6 pojazdów = 720 różnych sposobów zamawiania 6 pojazdów na działce lądowej.

b) Chcesz znaleźć liczbę różnych sposobów zamawiania na działce gruntowej 10 pojazdów, które można umieścić po rozszerzeniu działki lądowej.

N ° układów 10 pojazdów = p10 = 10!

Numer układu pojazdu = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1

N ° aranżacji 10 pojazdów = 3.628.800 różnych sposobów zamawiania 10 pojazdów w losie.

Może ci służyć: błąd procentowy

Ćwiczenie 3

Klorwica ma kwiaty 6 różnych kolorów, aby stworzyć kwiatowe flagi narodów, które mają tylko 3 kolory. Jeśli wiadomo, że kolejność kolorów jest ważna w flagach,

a) Ile różnych flag 3 kolorów można wykonać z 6 dostępnymi kolorami?

b) Sprzedawca nabywa kwiaty o dodatkowych 2 kolorach do 6, które już miały, teraz, ile flag innych niż 3 kolory można wykonać?

c) Ponieważ ma 8 kolorów decyduje się na rozszerzenie swojej oferty flag, ile różnych flag 4 kolorów może się przygotować?

d) Ile z 2 kolorów?

a) Chcesz znaleźć ilość flag innych niż 3 kolory, które można wykonać, wybierając 6 dostępnych kolorów.

N ° 3 -klaworek flag = 6p3 = 6!/(6–3)!

N ° 3 -klocków flag = 6*5*4 = 120 flag

b) Chcesz znaleźć ilość flag innych niż 3 kolory, które można wykonać, wybierając 8 dostępnych kolorów.

N ° 3 -klaworowanych flag = 8p3 = 8!/(8–3)!

N ° 3 -klaworowanych flag = 8*7*6 = 336 flag

c) Ilość flag innych niż 4 kolory, które można przygotować, wybierając 8 dostępnych kolorów, należy obliczyć.

N ° 4 -klocków flag = 8p4 = 8!/(8–4)!

4 -Kolorowane liczba flag = 8*7*6*5 = 1680 flag

d) Pożądane jest określenie ilości flag innych niż 2 kolory, które można przygotować, wybierając 8 dostępnych kolorów.

2 kolorowe liczba flag = 8p2 = 8!/(8 - 2)!

2 -Kolorowane liczba flag = 8*7 = 56 flag

Bibliografia

1. Boada, a. (2017). Wykorzystanie permutacji z powtarzaniem jako eksperymentów dydaktycznych. Vivat Academy Magazine. Odzyskane z Researchgate.internet.
2. Canavos, G. (1988). Prawdopodobieństwo i statystyka. Zastosowania i metody. McGraw-Hill/Inter-American z Meksyku S. DO. c. V.
3. Szkło, g.; Stanley, J. (1996). Metody statystyczne nie zastosowane do nauk społecznych. Hispanoamerican Hall S Hall. DO.
4. Spiegel, m.; Stephens, L. (2008). Statystyka. Czwarty ed. McGraw-Hill/Inter-American z Meksyku S. DO.
5. Walpole, r.; Myers, r.; Myers, s.; Ye, ka. (2007). Prawdopodobieństwo i statystyki dla inżynierów i naukowców. Ósmy ed. Pearson Education International Prentice Hall.
6. Webster, a. (2000). Statystyki dotyczyły biznesu i gospodarki. Trzeci wyd. McGraw-Hill/Inter-American s. DO.
7. (2019). Permutacja. Odzyskane z.Wikipedia.org.