Frakcje częściowe

Metoda rozkładu w częściowych ułamkach służy do rozwiązywania całek. Źródło: f. Zapata.

Jakie są częściowe ułamki?

Metoda frakcje częściowe o Proste ułamki stosuje się w algebrze i obliczeniach matematycznych w celu rozkładu racjonalnego wyrażenia, pozostawiając sumę algebraiczną prostszych ułamków.

Będąc dodatkowymi prostymi frakcjami, ułatwia się obliczenie operacji takich jak pochodne i całki, między innymi.

Rozważ następującą racjonalną ekspresję algebraiczną, która składa się z wielomianów p (x) i q (x) odpowiednio w liczniku i mianowniku: odpowiednio:

Chcesz napisać to wyrażenie jako sumę mniejszych frakcji. Aby to zrobić, należy zauważyć, że wielomian q (x) w mianowniku jest kwadratowym trynomikiem, co może być szybko uwzględniane, jako iloczyn dwóch czynników:

X²+x - 12 = (x+4) (x - 3)

Dlatego poprzednie wyrażenie pozostaje następujące:

Znając sumę ułamków, ten sposób pisania wyrażenia z łatwością prowadzi do tego drugiego:

Pozostaje znalezienie wartości A i B, tak że pierwotne wyrażenie zostało wyrażone jako suma tych dwóch mniejszych frakcji. W przypadku pokazanego przykładu wartości to: a = 3 i b = 2, a czytnik może potwierdzić, że w efekcie suma:

Jest to równoważne oryginalnemu wyrażeniu:

Jeśli się uwzględni:

Jak obliczane są częściowe frakcje?

Istnieją metody obliczania współczynników, które muszą przebiegać w licznikach prostych frakcji, które zależą od postaci oryginalnego wyrażenia racjonalnego, to znaczy od postaci p (x)/q (x).

Po pierwsze, należy pamiętać, że gdy stopień P (x) jest niższy niż Q (x), jest to a własne racjonalne wyrażenie, A jeśli nastąpi odwrotnie, jest to niewłaściwe wyrażenie racjonalne.

Metody rozkładu w prostych ułamkach odnoszą się do ich własnych wyrażeń algebraicznych, jeśli nie są, należy je najpierw zmniejszyć, wykonując operację podziału P (x)/Q (x).

Może ci służyć: tożsamości trygonometryczne (przykłady i ćwiczenia)

Następnie celem jest znalezienie liczników każdej frakcji, dla których wyróżniają się cztery przypadki, co zależy od faktoryzacji mianownika Q (x).

Przypadek 1: Czynniki Q (x) są liniowe i nie powtarzane

Jeśli czynniki Q (x) są liniowe i nie powtarzane, to znaczy, są one formy (x-a_Siema):

Q (x) = (x -a₁)(Do₂)… (Do_N)

Z₁ ≠ a₂  ≠ a₃ … ≠ a_N, Oznacza to, że wszystkie czynniki Q (x) są różne, wyrażenie racjonalne jest napisane jako:

Wartości₁, DO₂, DO₃… DO_N, Muszą być ustalone. Racjonalne wyrażenie pokazane na początku jest przykładem tego przypadku.

Przypadek 2: Q (x) ma powtarzane czynniki liniowe

Jeśli Q (x) składa się z powtarzanego współczynnika formularza (x - a)^N, Przy n ≥ 2 rozkład w częściowych frakcjach jest przeprowadzany w następujący sposób:

Podobnie jak w poprzednim przypadku, współczynniki należy określić za pomocą zabiegów algebraicznych.

Przypadek 3: Q (x) ma niezgłoszony nieredukowalny współczynnik kwadratowy

Jeśli przez faktoring q (x) pojawia się nieredukowalny współczynnik kwadratowy, formy topora²+BX+C, dla tego współczynnika, w rozkładu należy uwzględnić, dodając do tego formularza:

Wartości A i B należy znaleźć.

Przypadek 4: Q (x) ma nieredukowalny i powtarzający się współczynnik kwadratowy

Zakładając, że faktoryzacja Q (x) zawiera nieredukowalny i powtarzany współczynnik kwadratowy²+BX+C)^N, Należy uwzględnić następujące dodatki:

Jak zawsze należy obliczyć niezbędne współczynniki. Poniższe przykłady pokazują wymagane procedury algebraiczne.

Przykłady częściowych ułamków

Przykład 1

Poniższe własne racjonalne wyrażenie:

Jest już wyposażony w czynnikowy mianownik, składający się z dwóch nie powtórzonych czynników liniowych, więc Q (x) jest:

Q (x) = (x+2) (x -1)

Następnie rozkład w poszukiwanych częściowych ułamkach odpowiada przypadkowi 1, możliwość pisania:

Aby znaleźć odpowiednie wartości A i B, przeprowadzana jest suma równości:

Może ci służyć: elipsa

Wyrównanie liczników:

A (x - 1) + b (x + 2) = 3x

Stosowanie własności dystrybucyjnej i grupowanie podobnych warunków:

AX - A + BX + 2B = 3x

(A +b) x +( - a +2b) = 3x

Współczynnik (A+B) jest równy 3, ponieważ oba towarzyszą, po obu stronach równości, do terminu zawierającego „x”. Ze swojej części współczynnik (−a+2b) jest równy 0, ponieważ do prawa równości nie ma innego podobnego terminu.

Następnie powstaje następujący układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi:

A+B = 3
−a+2b = 0

Czyje to rozwiązanie:

A = 2
B = 1

Dlatego:

Czytelnik może sprawdzić równość, wykonując sumę sekcji po prawej stronie.

Przykład 2

W tym drugim wyrażeniu:

Również faktoryzowane, obserwuje się pojawienie się powtarzanego terminu (x+1)², Oprócz terminu liniowego (x+2). W takim przypadku rozkład w częściowych frakcjach, jak wskazano w przypadku 2, wynosi:

Aby znaleźć wartości A, B i C, suma prawa jest wykonywana i używana jest tylko licznik:

Licznik powstałego wyrażenia jest równy wyrażeniu pierwotnego, rozwijając algebraicznie w celu oddzielenia podobnych terminów:

A (x+1)² + B (x+2) (x+1)+c (x+2) = x - 3

A (x²+2x+1)+B (x²+3x+2)+C (x+2) = x --3

(A+B) x² + (2a+3b+c) x+(a+2b+2c) = x - 3

Z wyniku system trzech równań z trzema niewiadomymi A, B i C:

A + B = 0
2a+3b+c = 1
A+2B+2C = −3

Rozwiązanie systemowe to:

A = −5
B = 5
C = −4

Rozkład w żądanych cząstkach częściowych wynosi:

Ćwiczenie rozwiązane

Ta sekcja pokazuje rozwiązane ćwiczenie ilustrujące zastosowanie metody cząstek lub prostych frakcji, do obliczenia nieokreślonych całek. Celem jest napisanie integracji w prostszy sposób.

Po przepisaniu powstałe proste całki są poszukiwane w tabeli lub rozwiązane przez prostą zmianę zmienną.

Może ci służyć: tło historyczne geometrii analitycznej

Poproszono o obliczenie następującej całki:

Rozwiązanie

Pierwszym z nich jest sprawdzenie, czy integracja jest rzeczywiście własnym wyrażeniem algebraicznym, ponieważ stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika. Jego mianownik jest łatwo czynnik i pozostaje:

Dlatego Q (x) jest:

Q (x) = x (x²+2)

I składa się z liniowego terminu: x i nieredukowalny kwadratowy termin nie powtarzany: x x²+2 Dlatego jest to połączenie przypadku 1 i przypadku 3. Rozkład w częściowych ułamkach integracji wynosi:

Wykonanie sumy po prawej stronie równości:

Jak zawsze, dla cząstek częściowych działa tylko z licznikiem wyrażenia suma, który zawsze powinien być równy cyfrowi pierwotnego wyrażenia:

A (x² + 2) + x (bx + c) = 2

Rozwijanie:

Topór² + 2a + Bx² + Cx = 2

Grupowanie podobnych warunków:

(A+B) x² + Cx + 2a = 2

Równe współczynniki podobnych terminów, system równań do rozwiązania jest uzyskiwany, z niewiadomymi A, B i C:

A + B = 0
C = 0
2a = 2

Z drugiego równania wiadomo już, że C = 0, z ostatniego wynika, że ​​a = 1, a zatem b = -1, tak że pierwszy. Przy tych wartościach uzyskuje się:

Teraz jest zastępowany w oryginalnej całce:

I uzyskano dwie proste całki z funkcjami podstawowymi, znalezione w tabelach lub są szybką rozdzielczością.

Pierwsza IDE te całka jest elementarna:

I druga całka:

Jest to rozwiązane według następującej zmiany zmiennej: u = x²+4, du = 2xdx, dając:

Zwracanie zmiany zmiennej:

Wreszcie, zbierając oba wyniki, rozwiązanie jest określane:

Dwie stałe integracyjne idą w jednym, nazywanym C.

Bibliografia

1. Araujo, f. 2018. Rachunek integralny. Salesian Polytechnic University. ABYA-YALA University Editorial. Quito, Ekwador.
2. Arcega, r. Integracja przez rozkład w częściowych frakcjach. Odzyskane z: ejczycy.Edu.MX.
3. Larson, r. 2012. Przedłużanie. 8. Wydanie. Cengage Learning.
4. Purcell, e. J. 2007. Obliczenie. 9na. Wydanie. Prentice Hall.
5. Swokowski, e. 2011. Algebra i trygonometria z geometrią analityczną. 13. Wydanie. Cengage Learning.