Niezależne zdarzenia demonstracja, przykłady, ćwiczenia

Dwa Wydarzenia są niezależne, Kiedy na prawdopodobieństwo, że jeden z nich nastąpi, nie ma wpływu fakt, że drugi się zdarzy -lub nie zdarzy się, że zdarzenia te występują losowo.

Ta okoliczność jest zawsze podawana, że ​​proces generowany przez wynik zdarzenia 1 nie zmienia się w żaden sposób na prawdopodobieństwo możliwych wyników zdarzenia 2. Ale jeśli tak nie jest, mówi się, że zdarzenia są zależne.

Rysunek 1. Kolorowe kulki są często używane do wyjaśnienia prawdopodobieństwa niezależnych zdarzeń. Źródło: Pixabay.

Sytuacja niezależnych wydarzeń jest następująca: Załóżmy, że wyrzucane są dwie kostki sześciu stron, jeden niebieski, a drugi różowy. Prawdopodobieństwo 1 w niebieskiej kostce jest niezależne od prawdopodobieństwa, że ​​1 -or nie wyjdzie - w różowej kostce.

Kolejnym przypadkiem dwóch niezależnych wydarzeń jest uruchomienie monety dwa razy z rzędu. Wynik pierwszej premiery nie będzie zależeć od wyniku drugiego i odwrotnie.

[TOC]

Demonstracja dwóch niezależnych wydarzeń

Aby sprawdzić, czy dwa zdarzenia są niezależne, zdefiniujemy pojęcie warunkowego prawdopodobieństwa jednego zdarzenia w odniesieniu do drugiego. W tym celu konieczne jest rozróżnienie między ekskluzywnymi wydarzeniami a wydarzeniami integracyjnymi:

Dwa zdarzenia są wyłączne, jeśli to możliwe, wartości lub elementy zdarzenia A, nie mają nic wspólnego z wartościami lub elementami zdarzenia B.

Dlatego w dwóch ekskluzywnych zdarzeniach zestaw przecięcia A z B jest pustka:

Wydarzenia ekskluzywne: A∩b = Ø

Przeciwnie, jeśli wydarzenia są włączające, może się zdarzyć, że jeden wynik z wydarzenia A również zbiega się z innymi B, będąc A i B różne wydarzenia. W tym przypadku:

Wydarzenia obejmujące: A∩B ≠ Ø

To prowadzi nas do zdefiniowania uwarunkowanego prawdopodobieństwa dwóch zdarzeń integracyjnych, innymi słowy, prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A, pod warunkiem, że zdarzenie B nastąpi:

P (A¦b) = p (a∩b)/p (b)

Dlatego uwarunkowane prawdopodobieństwo jest prawdopodobieństwem, które zachodzi i B podzielone przez prawdopodobieństwo, że występuje B. Prawdopodobieństwo oparte na:

P (B naleg) = p (a∩b)/p (a (a)

Kryteria, które należy wiedzieć, czy dwa wydarzenia są niezależne

Następnie damy trzy kryteria, aby dowiedzieć się, czy dwa wydarzenia są niezależne. Wystarczy, że jeden z trzech był spełniony, aby pokazano niezależność wydarzeń.

1.- Jeśli prawdopodobieństwo, że nastąpi tak długo, jak B jest równe prawdopodobieństwu A, są to niezależne zdarzenia:

Może ci służyć: własność Algebra Lock: Demonstration, przykłady

P (A¦b) = p (a) => a jest niezależny od b

2.- Jeśli podane prawdopodobieństwo B jest równe prawdopodobieństwu B, mają one niezależne zdarzenia:

P (B naleg) = p (b) => b jest niezależny od a

3.- Jeśli prawdopodobieństwo, które nastąpi do i B, jest równe iloczynowi prawdopodobieństwa występującego dla prawdopodobieństwa występującego B, są to niezależne zdarzenia. Wzajemny jest również prawdziwy.

P (a∩b) = p (a) p (b) a i b są niezależnymi zdarzeniami.

Przykłady niezależnych zdarzeń

Porównywane są gumowe podeszerze wytwarzane przez dwóch różnych dostawców. Próbki każdego producenta są poddawane kilku próbom, z których stwierdzono, czy są one w ramach specyfikacji. 

Rysunek 2. Różnorodność gumowych podeszwy. Źródło: Pixabay.

Powstałe podsumowanie 252 próbek jest następujące:

Producent 1; 160 spełnia specyfikacje; 8 Nie spełniaj specyfikacji.

Producent 2; 80 spełnia specyfikacje; 4 Nie spełniaj specyfikacji.

Zdarzenie A: „Próbka pochodzi od producenta 1”.

Wydarzenie B: „Próbka spełnia specyfikacje”.

Pożądane jest, aby wiedzieć, czy te zdarzenia A i B są czy nie są niezależne, dla których stosujemy jedno z trzech kryteriów wymienionych w poprzedniej sekcji.

Kryteria: P (BPED) = P (B) => B jest niezależne od a

P (b) = 240/252 = 0.9523

P (Bman) = P (A ⋂ B)/P (a) = (160/252)/(168/252) = 0.9523

Wniosek: Wydarzenia A i B są niezależne.

Załóżmy, że zdarzenie C: „że program pochodzi od producenta 2”

Czy będzie to wydarzenie B niezależne od wydarzenia C?

Stosujemy jedno z kryteriów.

Kryteria: p (b nalej) = p (b) => b jest niezależne od c

P (B¦c) = (80/252)/(84/252) = 0.9523 = p (b)

Dlatego, zgodnie z dostępnymi danymi, prawdopodobieństwo, że losowo wybrana gumowa podeszwa spełnia specyfikacje, jest niezależne od producenta. 

Zmień niezależne zdarzenie w zależne

Spójrzmy na poniższy przykład, aby rozróżnić zdarzenia Zależności e niezależny. 

Mamy torbę z dwiema białą czekoladą i dwiema czarnymi kulkami. Prawdopodobieństwo uzyskania białej lub czarnej piłki jest takie samo w pierwszej próbie.

Załóżmy, że rezultatem była biała kulka. Jeśli wyodrębniona kula zostanie uzupełniona w torbie, pierwotna sytuacja jest powtarzana: dwie białe kulki i dwie czarne kulki.

Tak więc w drugim wydarzeniu lub ekstrakcji możliwości wyjęcia białej kulki lub czarnej kulki są identyczne z możliwościami po raz pierwszy. Dlatego są niezależne zdarzenia.

Ale jeśli biała piłka nie zostanie uzupełniona w pierwszym wydarzeniu, ponieważ ją zjedliśmy, w drugiej ekstrakcji istnieją większe możliwości zdobycia czarnej piłki. Prawdopodobieństwo, że w drugiej ekstrakcji jest uzyskiwane ponownie białe, różni się od prawdopodobieństwa pierwszego zdarzenia i jest uwarunkowane przez poprzedni wynik.

Może ci służyć: Scaleno Triangle

Ćwiczenia

- Ćwiczenie 1

W pudełku umieszczamy 10 kulbowa na ryc. 1, z czego 2 są zielone, 4 niebieskie i 4 białe. Wybierają dwa losowe kulki, jeden pierwszy i jeden później. Proszono o znalezienie
Prawdopodobieństwo, że żaden z nich nie jest niebieski, w następujących warunkach:

a) Z wymianą, to znaczy powrót do pudełka pierwszego marmuru przed drugim wyborem. Wskaż, czy są to zdarzenia niezależne, czy zależne.

b) bez wymiany, tak że pierwszy wyodrębniony marmur, wyszedł z pudełka w momencie dokonania drugiego wyboru. Podobnie wskazuj, czy są one zależne lub niezależne zdarzenia.

Rozwiązanie

Obliczamy prawdopodobieństwo, że pierwszy ekstrahowany marmur nie jest niebieski, co jest 1 mniejsze prawdopodobieństwo, że jest to niebieski p (a) lub bezpośrednio, że nie jest niebieski, ponieważ wyszedł zielony lub biały:

P (a) = 4/10 = 2/5

P (bez niebieskiego) = 1 - (2/5) = 3/5

O Cóż:

P (zielony lub biały) = 6/10 = 3/5.

Jeśli marmur zostanie zwrócony, wszystko znowu jest jak poprzednio. W tej drugiej ekstrakcji istnieje również 3/5 prawdopodobieństwa, że ​​wydobyty marmur nie jest niebieski.

P (bez niebieskiego, bez niebieskiego) = (3/5). (3/5) = 9/25.

Zdarzenia są niezależne, ponieważ wyodrębniony marmur powrócił do pudełka, a pierwsze zdarzenie nie wpływa na prawdopodobieństwo wystąpienia drugiego.

Rozwiązanie b

W przypadku pierwszej ekstrakcji to samo jest kontynuowane w poprzednim rozdziale. Prawdopodobieństwo, że nie jest niebieski, wynosi 3/5.

W przypadku drugiej ekstrakcji mamy w torbie 9 kulbaków, ponieważ pierwszy nie wrócił, ale nie był niebieski, dlatego w torbie pozostało 9 marmurów i 5 non -blue:

P (zielony lub biały) = 5/9.

P (brak niebieskiego) = p (pierwszy no niebieski). P (drugi nie -blat /pierwszy nie był niebieski) = (3/5) . (5/9) = 1/3

W takim przypadku nie chodzi o niezależne wydarzenia, ponieważ pierwsze wydarzenie warunki drugiego.

- Ćwiczenie 2

Sklep ma 15 koszul w trzech rozmiarach: 3 małe, 6 średnich i 6 dużych. 2 koszule są losowo wybierane.

a) Jakie prawdopodobieństwo obie wybrane koszule są małe, jeśli ktoś zostanie najpierw usunięty i bez wymiany pracy?

b) Co prawdopodobne, obie wybrane koszule są małe, jeśli jedna zostanie usunięta, druga zostanie zastąpiona, a druga zostanie usunięta?

Może ci służyć: prawdziwa funkcja zmiennej i jej reprezentacji graficznej

Rozwiązanie

Oto dwa wydarzenia:

Wydarzenie A: Pierwsza wybrana koszula jest mała

Wydarzenie B: Druga wybrana koszula jest mała

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi: P (a) = 3/15

Prawdopodobieństwo, które pochodzi z zdarzenia B, wynosi: p (b) = 2/14, ponieważ koszula została już wyodrębniona (14), ale jest również chciało spełnić to wydarzenie do pierwszej wyodrębnionej koszuli, musi być niewielka i w tej chwili jest 2 małe.

Innymi słowy, prawdopodobieństwo A i B będzie iloczynem prawdopodobieństwa jest:

P (a i b) = p (bpped) p (a) = (2/14) (3/15) = 0.029

Dlatego prawdopodobieństwo bycia zdarzenia A i B jest równe produktowi, jakie zdarzenie jest, z powodu prawdopodobieństwa zdarzenia B, jeśli zdarzenie zostało podane.

Należy zauważyć że:

P (B¦a) = 2/14

Prawdopodobieństwo zdarzenia B niezależnie od tego, czy zdarzenie jest podane, będzie:

P (b) = (2/14) Jeśli pierwszy był mały, lub p (b) = 3/14, jeśli pierwszy nie był mały.

Ogólnie rzecz biorąc, można zakończyć:

P (BPED) nie jest równe P (B) => B nie jest niezależne od A

Rozwiązanie b

Znowu są dwa wydarzenia:

Wydarzenie A: Pierwsza wybrana koszula jest mała

Wydarzenie B: Druga wybrana koszula jest mała

P (a) = 3/15

Pamiętaj, jaki jest wynik, koszula jest zastępowana z działki i ponownie losowo usuwa koszulę. Prawdopodobieństwo, że było zdarzenia B, jeśli wydarzenie A zostało podane:

P (B naleg) = 3/15

Prawdopodobieństwo, że zdarzenia otrzymają A i B, będzie:

P (a i b) = p (bpped) p (a) = (3/15) (3/15) = 0.04

Zauważ, że: 

P (B nalej) jest równe P (B) => B jest niezależny od a.

- Ćwiczenie 3

Rozważ dwa niezależne wydarzenia A i B. Wiadomo, że prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia wynosi 0,2, a prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia B wynosi 0,3. Jakie będzie prawdopodobieństwo wystąpienia obu zdarzeń?

Rozwiązanie 2

Wiedząc, że zdarzenia są niezależne, wiadomo, że prawdopodobieństwo, że oba zdarzenia wystąpią, jest produktem poszczególnych prawdopodobieństw. To jest do powiedzenia,

P (a∩b) = p (a) p (b) = 0,2 * 0,3 = 0,06

Zauważ, że jest to znacznie niższe prawdopodobieństwo niż prawdopodobieństwo, że każde zdarzenie wystąpi niezależnie od wyniku drugiego. Innymi słowy, znacznie mniej niż indywidualne prawdopodobieństwa.

Bibliografia

1. Berenson, m. 1985. Statystyka administracji i ekonomii. Inter -American s.DO. 126-127.
2. Monterrey Institute. Prawdopodobieństwo niezależnych zdarzeń. Odzyskane z: Monterreyinstitute.org
3. Mats Profesor. Niezależne wydarzenia. Odzyskane z: YouTube.com
4. Superprof. Rodzaje zdarzeń, zdarzenia zależne. Odzyskane z: Superprof.Jest
5. Wirtualny nauczyciel. Prawdopodobieństwo. Pobrano z: Viciputor.internet
6. Wikipedia. Niezależność (prawdopodobieństwo). Odzyskane z: Wikipedia.com