Wzory i równania błędu próbkowania, obliczenia, przykłady

Średnia wartość próbki jest oznaczona, a średnia wartość całkowitej populacji oznacza ją dla listu greckiego μ (To czyta Mu lub miu).

Załóżmy, że są zabrane M Całkowite próbki populacji N, Cały równy rozmiar N Ze średnimi wartościami 1>, 2>, 3>, .. .M>.

Te średnie wartości nie będą identyczne i wszystkie będą znajdować się wokół średniej wartości populacji μ. On Przykładowy margines błędu e wskazuje oczekiwane oddzielenie średnich wartości w odniesieniu do Średnia wartość populacji μ w ramach określonego odsetka o nazwie Poziom zaufania γ (Gamma).

On Standardowy margines błędu ε próbki wielkości N Jest:

ε = σ/√n

Gdzie σ jest odchyleniem standardowym (Pierwiastek kwadratowy wariancji), który jest obliczany w następującym wzorze:

σ = √ [(x -)²/(N - 1)]

Znaczenie Standardowy margines błędu ε jest następujący:

On wartość środkowa uzyskane przez próbkę wielkości N jest rozumiany w przedziale ( - ε, + ε) z poziom zaufania 68,3%.

Jak obliczyć błąd próbkowania

W poprzedniej sekcji podano formułę w celu znalezienia Zakres błędów standard próbki n, gdzie standardowe słowo wskazuje, że jest to margines błędu z 68% zaufaniem.

Wskazuje to, że jeśli pobrano wiele próbek tej samej wielkości N, 68% z nich da średnie wartości w zakresie [ - ε, + ε].

Istnieje prosta zasada, zwana Zasada 68-95-99.7 To pozwala nam znaleźć margines Błąd przykładowy e Dla poziomów ufności 68%, 95% I 99,7% łatwo, ponieważ ten margines wynosi 1⋅ε, 2⋅ε i 3⋅ε odpowiednio.

Dla poziomu ufności γ

Jeśli on Poziom zaufania γ To nie jest żaden z powyższych, więc błąd próbkowania jest odchyleniem standardowym σ pomnożone przez czynnik Zγ, który jest uzyskiwany w następującej procedurze:

1.- Po pierwsze poziom istotności α który jest obliczany z Poziom zaufania γ Poprzez następujący związek: α = 1 - γ

2.- Następnie musisz obliczyć wartość 1 - α/2 = (1 + γ)/2, co odpowiada normalnej częstotliwości gromadzonej między -∞ i Zγ, W normalnym lub gaussowskim rozkładowi typu F (z), którego definicja można zobaczyć na rycinie 2.

3.- Równanie jest rozwiązane F (Zγ) = 1 - α/2 Poprzez tabele rozkładu normalnego (nagromadzone) F, o poprzez aplikację komputerową, która ma typową odwrotną funkcję Gaussa F^-1.

W tym drugim przypadku:

Zγ = g^-1(1 - α/2).

4.- Wreszcie stosuje się ten formuła błędu próbkowania z poziomem niezawodności γ:

E = Zγ⋅(σ/√n)

Przykłady

- Przykład 1

Oblicz Standardowy margines błędu Średnia waga próbki 100 noworodków. Obliczenie średniej masy wyniosło = 3100 kg przy odchyleniu standardowym σ = 1500 kg.

Rozwiązanie

On Standardowy margines błędu Jest ε = σ/√n = (1 500 kg)/√100 = 0,15 kg. Co oznacza, że ​​przy tych danych można wywnioskować, że waga 68% noworodków wynosi od 2950 kg do 3.25 kg.

- Przykład 2

Określić margines błędu próbki i oraz zakres wagi 100 noworodków o poziomie ufności 95%, jeśli średnia waga wynosi 3100 kg przy odchyleniu standardowym σ = 1500 kg.

Rozwiązanie

Jeśli Zasada 68; 95; 99.7 → 1⋅ε; 2⋅ε; 3⋅ε, Ty masz:

E = 2⋅ε = 2⋅0,15 kg = 0,30 kg

Innymi słowy, 95% noworodków będzie miało peso od 2800 kg do 3400 kg.

- Przykład 3

Określ zakres pesos noworodków przykładu 1 z 99,7% marginesem ufności.

Rozwiązanie

Błąd próbki z 99,7% zaufaniem jest 3 σ/√n, że dla naszego przykładu jest e = 3 *0,15 kg = 0,45 kg. Stąd wywnioskuje się, że 99,7% noworodków będzie miało peso od 2650 kg do 3550 kg.

- Przykład 4

Określ współczynnik Zγ Dla poziomu niezawodności 75%. Określ margines błędu próbkowania z tym poziomem niezawodności dla sprawy podniesionej w przykładzie 1.

Rozwiązanie

On poziom zaufania Jest γ = 75% = 0,75, które odnosi się do poziom istotności α poprzez związek γ= (1 - α), tak że poziom istotności jest α = 1 - 0,75 = 0,25.

Oznacza to, że skumulowane normalne prawdopodobieństwo między -∞ i Zγ Jest:

P (z ≤ Zγ ) = 1 - 0,125 = 0,875

Co odpowiada wartości Zγ 11503, jak pokazano na rycinie 3.

Innymi słowy, błąd próbkowania jest E = Zγ⋅(σ/√n)= 1.15⋅(σ/√n).

Po zastosowaniu do przykładu 1 daje błąd:

E = 1,15*0,15 kg = 0,17 kg

Z 75% poziomem ufności.

- Ćwiczenie 5

Jaki jest poziom zaufania, jeśli Z_α/2 = 2.4 ?

Rozwiązanie

P (z ≤ z_α/2 ) = 1 - α/2

P (z ≤ 2.4) = 1 - α/2 = 0,9918 → α/2 = 1 - 0,9918 = 0,0082 → α = 0,0164

Poziom istotności wynosi:

α = 0,0164 = 1,64%

I wreszcie pozostaje poziom zaufania:

1- α = 1 - 0,0164 = 100% - 1,64% = 98,36%

Bibliografia

1. Canavos, G. 1988. Prawdopodobieństwo i statystyki: Zastosowania i metody. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Prawdopodobieństwo i statystyki inżynierii i nauki. 8. Wydanie. Cengage.
3. Levin, r. 1988. Statystyki dla administratorów. 2. Wydanie. Prentice Hall.
4. Sudman, s.1982. Zadawanie pytań: Praktyczny przewodnik po projektowaniu kwestionariusza. San Francisco. Jossey Bass.
5. Walpole, r. 2007. Prawdopodobieństwo i statystyki inżynierii i nauki. osoba.
6. Wonnacott, t.H. i r.J. Wonnacott. 1990. Statystyka wprowadzająca. Ed. Wiley
7. Wikipedia. Błąd przykładowy. Źródło: w:.Wikipedia.com
8. Wikipedia. Margines błędu. Źródło: w:.Wikipedia.com