Koncepcja rozkładu dwumianowego, równanie, cechy, przykłady

rozkład dwumianowy Jest to rozkład prawdopodobieństwa, w którym obliczane jest prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia, pod warunkiem, że występują one w dwóch modalności: sukces lub porażka.

Te wyznaczenia (sukces lub porażka) są całkowicie arbitralne, ponieważ niekoniecznie oznaczają dobre lub złe rzeczy. Podczas tego artykułu wskażemy matematyczną formę rozkładu dwumianowego, a następnie znaczenie każdego terminu zostanie szczegółowo wyjaśnione.

Rysunek 1. Uruchomienie kości jest zjawiskiem, które można modelować za pomocą rozkładu dwumianowego. Źródło: Pixabay.

[TOC]

Równanie

 Równanie jest następujące:

Z x = 0, 1, 2, 3 .. .n, gdzie:

- P (x) jest prawdopodobieństwem posiadania dokładnie X sukcesy między N próby lub próby.

- X Jest to zmienna opisująca zjawisko interesujące, odpowiadające liczbie sukcesów.

- N Liczba prób

- P Jest to prawdopodobieństwo sukcesu w 1 próbie

- Q Jest to więc prawdopodobieństwo awarii w 1 próbie Q = 1 - P

Symbol podziwu "!„Jest używany do notacji czynnikowej, więc:

0! = 1

1! = 1

2! = 2.1 = 2

3! = 3.2.1 = 6

4! = 4.3.2.1 = 24

5! = 5.4.3.2.1 = 120

I tak dalej.

Pojęcie

Rozkład dwumianowy jest bardzo odpowiedni do opisania sytuacji, w których zdarzenie występuje lub nie występuje. Jeśli to nastąpi, jest to sukces, a jeśli nie, to jest porażka. Ponadto prawdopodobieństwo sukcesu musi być zawsze stałe.

Istnieją zjawiska, które pasują do tych warunków, na przykład uruchomienie waluty. W takim przypadku możemy powiedzieć, że „sukcesem” jest zdobycie twarzy. Prawdopodobieństwo jest ½ i nie zmienia się, bez względu na to, ile razy waluta jest uruchamiana.

Uruchomienie uczciwej kości jest kolejnym dobrym przykładem, a także kategoryzuj w dobrych i wadliwych elementach pewną produkcję i uzyskaj czerwony zamiast czarnego.

Może ci służyć: system równań: metody rozwiązania, przykłady, ćwiczenia

Charakterystyka

Możemy podsumować cechy rozkładu dwumianowego w następujący sposób:

- Każde zdarzenie lub obserwacja jest wyodrębnione z nieskończonej populacji bez wymiany lub skończonej populacji z zastąpieniem.

- Rozważane są tylko dwie opcje, wzajemnie wykluczające się: sukces lub porażka, jak wyjaśniono na początku.

- Prawdopodobieństwo sukcesu musi być stałe w każdej wykonanej obserwacji.

- Wynik każdego zdarzenia jest niezależny od jakiegokolwiek innego wydarzenia.

- Średnia rozkładu dwumianowego wynosi N.P

- Odchylenie standardowe to:

Poprzednie przykłady spełniają te warunki, chociaż istnieją pewne ograniczenia do zastosowania.

Przykład aplikacji

Weźmy proste wydarzenie, które może być zdobycie 2 twarzy 5, wprowadzając uczciwe kości 3 razy. Jakie są prawdopodobieństwa, że ​​w 3 wystrzeleniu 2 powierzchni 5 są uzyskiwane?

Istnieje kilka sposobów, aby to osiągnąć, na przykład:

- Pierwsze dwa wydania to 5, a ostatnie nie.

- Pierwszy i ostatni to 5, ale nie medium.

- Ostatnie dwa premiery to 5, a pierwszy nie.

Weźmy jako przykład, pierwsza opisana sekwencja i oblicz jej prawdopodobieństwo wystąpienia. Prawdopodobieństwo uzyskania 5 twarzy w pierwszym uruchomieniu wynosi 1/6, a także w drugim, ponieważ są to niezależne zdarzenia.

Prawdopodobieństwo uzyskania kolejnej powierzchni 5 w ostatnim uruchomieniu wynosi 1 - 1/6 = 5/6. Dlatego prawdopodobieństwo, że ta sekwencja wyjdzie, jest wynikiem prawdopodobieństwa:

(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0.023

A co z pozostałymi dwiema sekwencjami? Mają identyczne prawdopodobieństwo: 0.023.

Ponieważ mamy w sumie 3 udane sekwencje, całkowite prawdopodobieństwo będzie:

P (2 twarze 5 na 3 start) = Liczba możliwych sekwencji x prawdopodobieństwo konkretnej sekwencji = 3 x 0.023 = 0.069.

Teraz spróbujmy dwumianowego, na którym się dzieje:

Może ci służyć: Mackinder Box

x = 2 (zdobądź 2 strony 5 na 3 start to sukces)

n = 3

P = 1/6

Q = 5/6

Rozwiązane ćwiczenia

Istnieje kilka sposobów rozwiązania ćwiczeń dystrybucji dwumianowej. Jak widzieliśmy, najprostsze można rozwiązać, mówiąc, ile sukcesu istnieje, a następnie pomnożyć przez odpowiednie prawdopodobieństwa.

Jednak gdy istnieje wiele opcji, liczby stają się większe i preferowane jest użycie formuły.

A jeśli liczby są jeszcze wyższe, są chłopcy z rozmieszczenia dwumianowego. Jednak obecnie stały się one przestarzałe na korzyść wielu rodzajów kalkulatorów, które ułatwiają obliczenia.

Ćwiczenie 1

Para ma dzieci z prawdopodobieństwem 0,25, aby mieć krew typu lub. Para ma łącznie 5 dzieci. Odpowiedź: a) Czy ta sytuacja pasuje do rozkładu dwumianowego?, b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie 2 z nich są typu lub?

Rozwiązanie

a) Rozkład dwumianowy jest dostosowywany, ponieważ spełnia warunki ustalone w poprzednich sekcjach. Istnieją dwie opcje: posiadanie rodzaju lub „sukcesu” krwi, choć nie ma jej „porażki”, a wszystkie obserwacje są niezależne.

b) Masz rozkład dwumianowy:

W którym zastąpiono następujące wartości:

x = 2 (uzyskaj 2 dzieci z krwią typu O)

n = 5

P = 0.25

Q = 0.75

= 0.2637

Przykład 2

Uniwersytet stwierdza, że ​​80% studentów należących do uniwersyteckiej drużyny koszykówki ukończyła. Dochodzenie analizuje rekord akademicki 20 studentów należących do wspomnianej drużyny koszykówki, która zapisała się na uniwersytet dawno temu.

Z tych 20 studentów 11 zakończyło wyścig, a 9 opuściło studia.

Rysunek 2. Prawie wszyscy studenci, którzy grają w zespole uniwersyteckim, udaje się ukończyć studia. Źródło: Pixabay.

Jeśli oświadczenie uniwersytetu jest prawdziwe, liczba studentów, którzy grają w koszykówkę i udaje się ukończyć, między 20 N = 20 I P = 0,8. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie 11 z 20 graczy ukończyło?

Może ci służyć: kąty w obwodzie: typy, właściwości, rozwiązywane ćwiczenia

Rozwiązanie

W rozkładu dwumianowym:

Należy wymienić następujące wartości:

x = 11

N = 20

P = 0.8

Q = 0.2

= 0.00739

Przykład 3

Naukowcy przeprowadzili badanie w celu ustalenia, czy istnieją znaczące różnice w wskaźnikach ukończenia studiów przyjętych w ramach specjalnych programów i studentów medycyny przyjętych poprzez regularne kryteria przyjmowania.

Stwierdzono, że wskaźnik ukończenia studiów wynosił 94% dla studentów przyjętych za pośrednictwem programów specjalnych (na podstawie danych z danych Journal of the American Medical Association).

Jeśli 10 studentów programów specjalnych jest losowo wybranych, znajdź prawdopodobieństwo, że co najmniej 9 z nich ukończyło studia.

b) Czy byłoby to niezwykłe losowe wybór 10 studentów ze specjalnych programów i uzyskanie, że tylko 7 z nich ukończyło studia?

Rozwiązanie

Prawdopodobieństwo, że uczeń przyznał się za pośrednictwem specjalnych absolwentów programu, wynosi 94/100 = 0.94. Są wybrani N = 10 studenci programów specjalnych i chcesz dowiedzieć się, że co najmniej 9 z nich ukończy studia.

Następujące wartości są zastępowane w rozkładowi dwumianowym:

x = 9

N = 10

P = 0.94

Q = 0.06Jest to prawdopodobieństwo, że dokładnie 9 zostanie ukończone, ale mogą również ukończyć dokładnie 10:

 P (co najmniej 9 absolwentów) = p (9) + p (10) = 0.3439+0.5386 = 0.8825

B)
Tak, jest to niezwykłe, ponieważ uzyskane prawdopodobieństwo jest dość małe.

Bibliografia

1. Berenson, m. 1985. Statystyka administracji i ekonomii. Inter -American s.DO.
2. Mathworks. Rozkład dwumianowy. Odzyskane z: jest.Mathworks.com
3. Mendenhall, w. 1981. Statystyka administracji i ekonomii. 3. wydanie. Grupa redakcyjna Iberoamerica.
4. Moore, d. 2005. Zastosowano podstawowe statystyki. 2. Wydanie.
5. TRIOLA, m. 2012. Statystyka podstawowa. 11. Wyd. Edukacja Pearsona.
6. Wikipedia. Rozkład dwumianowy. Odzyskane z: jest.Wikipedia.org