Obliczenia podejścia za pomocą różnicowych

Podejście z matematyki to liczba, która nie jest dokładną wartością czegoś, ale jest tak blisko, która jest uważana za tak przydatną, jak wspomniana wartość.

Kiedy wykonywane są podejścia matematyczne, dzieje się tak, ponieważ jest to trudne (a czasem niemożliwe) znać dokładną wartość tego, czego chcesz.

Głównym narzędziem podczas pracy z podejściami jest różnica funkcji. Różnica funkcji F, oznaczona przez ΔF (x), jest niczym więcej niż pochodną funkcji f pomnożonej przez zmianę zmiennej niezależnej, to znaczy, ΔF (x) = f '(x)*δx.

Czasami stosuje się DF i DX zamiast ΔF i δx.

Podejścia za pomocą różnicy

Wzór stosowany do wykonania przybliżenia poprzez różnicę wynika tylko z definicji pochodnej funkcji jako granicy.

Ta formuła jest podana przez:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0)*(x-x0) = f (x0) + f' (x0)*δx.

Tutaj rozumie się, że Δx = x-x0, dlatego x = x0+δx. Używając tego formuły można przepisać jako

f (x0 + δx) ≈ f (x0) + f '(x0)*δx.

Należy zauważyć, że „x0” nie jest wartością dowolną, ale że jest to taka wartość, że F (x0) jest łatwo znany; Ponadto „f (x)” to tylko wartość, którą chcemy podejść.

Czy są lepsze podejścia?

Odpowiedź brzmi tak. Poprzedni jest najprostszym z podejść zwanych „podejściem liniowym”.

W przypadku podejść lepszej jakości (wprowadzony przez błąd jest niższy), stosuje się wielomiany o większej liczbie pochodnych zwanych „wielomianami Taylora”, a także inne metody numeryczne, takie jak metoda Newton-Raphson, między innymi między innymi.

Strategia

Strategia do naśladowania to:

- Wybierz odpowiednią funkcję F, aby przeprowadzić przybliżenie „x” i wartość, którą f (x) to wartość, którą chcesz przybliżać.

- Wybierz wartość „x0”, blisko „x”, tak że F (x0) jest łatwe do obliczenia.

- Oblicz δx = x-x0.

- Oblicz funkcję wyprowadzoną i F '(x0).

- Wymień dane w formule.

Rozwiązane ćwiczenia przybliżenia

W trakcie tego jest wiele ćwiczeń, w których przybliżenia są wykonywane za pomocą różnicowej.

1. Pierwsze ćwiczenie

Ok. √3.

Rozwiązanie

Zgodnie z strategią musisz wybrać odpowiednią funkcję. W takim przypadku można zauważyć, że wybrana funkcja musi wynosić f (x) = √x, a wartością do przybliżania wynosi f (3) = √3.

Teraz musisz wybrać wartość „x0” blisko „3”, tak aby F (x0) jest łatwe do obliczenia. Jeśli wybrano „x0 = 2”, musi „x0” jest blisko „3”, ale f (x0) = f (2) = √2 nie jest łatwe do obliczenia.

Wartość „x0”, która odpowiada „4”, ponieważ „4” jest blisko „3”, a także f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Jeśli „x = 3” i „x0 = 4”, to δx = 3-4 = -1. Teraz obliczana jest pochodna F. To znaczy f '(x) = 1/2*√x, więc f' (4) = 1/2√4 = 1/2*2 = 1/4.

Uzyskuje się wymianę wszystkich wartości w wzorze:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4)*( - 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1.75.

Jeśli używany jest kalkulator, uzyskuje się, że √3≈1.73205 ... To pokazuje, że poprzedni wynik jest dobrym przybliżeniem wartości rzeczywistej.

2. Drugie ćwiczenie

Ok. √10.

Rozwiązanie

Jak wcześniej zostanie wybrany jako funkcja f (x) = √x iw takim przypadku x = 10.

Wartość x0, którą należy wybrać przy tej okazji, to „x0 = 9”. To jest konieczne.

Podczas oceny w wzorze jest to uzyskiwane

√10 = f (10) ≈ 3 + 1*1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ..

Za pomocą kalkulatora uzyskuje się, że √10 ≈ 3.1622776… Tutaj widać, że wcześniej uzyskano dobre podejście.

3. Trzecie ćwiczenie

Ok. ³√10, gdzie ³√ oznacza korzeń sześcienny.

Rozwiązanie

Oczywiście funkcją, która powinna być używana w tym ćwiczeniu, to f (x) = ³√x, a wartość „x” musi być „10”.

Wartość zbliżona do „10”, tak że jego sześcienne korzenie jest znane, to „x0 = 8”. Następnie musisz Δx = 10-8 = 2 i f (x0) = f (8) = 2. Musisz także f '(x) = 1/3*³√x², a co konsekwentne /12.

Zastępując dane w wzorze, uzyskuje się, że:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12)*2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.16666 .. .

Kalkulator mówi, że „10 ≈ 2.15443469… Dlatego znalezione przybliżenie jest dobre.

4. Czwarte ćwiczenie

Ok. 1 (1.3), gdzie „ln” oznacza funkcję logarytmu naturalnego.

Rozwiązanie

Najpierw jest wybrany jako funkcja f (x) = ln (x), a wartość „x” wynosi 1.3. Teraz, wiedząc trochę o funkcji logarytmu, możesz wiedzieć, że LN (1) = 0, a także „1” jest blisko „1.3 ". Dlatego wybrano „x0 = 1”, a więc δx = 1.3 - 1 = 0.3.

Z drugiej strony f '(x) = 1/x, tak że f' (1) = 1. Oceniając w danym formule, musisz:

LN (1.3) = F (1.3) ≈ 0 + 1*0.3 = 0.3.

Podczas korzystania z kalkulatora musisz LN (1.3) ≈ 0.262364 ... aby przybliżenie było dobre.