Matematyka

Trójmian

Trójmian
Trinomial jest wielomianem z trzema terminami. Źródło: f. Zapata.

Co to jest trójmian?

Trinomial jest wielomianem, który składa się z wskazanej sumy trzech różnych terminów, to znaczy jest zbudowany algebraicznie trzy monomile o różnych stopniach, albo jeden lub bardziej zmienne. Są to bardzo powszechne wielomiany w algebrze.

Niektóre przykłady trynomianów są następujące:

  • X2 + 5x - 3 (klasa 2)
  • x- x2 - 6x3  (Trinomial klasy 3)
  • -7xy2 + 4x2y - x3 (Trinomial absolutnego stopnia 3, stopień 3 w x i stopniach 2 w y)

Pierwszy i drugi z tych trynomialnych jest jednej zmiennej, w tym przypadku zmienna „x”, podczas gdy trzecia trójmian to dwie zmienne „x” i „y”.

Przykłady trynomianów

Istnieje kilka rodzajów trynomianów, które są prezentowane w wielu zastosowaniach, wśród nich:

Idealny kwadratowy trójmian

Przy opracowywaniu kwadratu sumy lub kwadratu różnicy pod względem różnicy lub kwadrat. Oba zmiany są znane jako Niezwykłe produkty.

Przede wszystkim masz kwadrat suma: (a + b)2. Opracowując to wyrażenie:

(A + B)2 = (a + b) × (a + b) = a2 + A ∙ B + B ∙ A + B2

Dwa centralne terminy są identyczne i są zmniejszone do 2a ∙ B, dlatego:

(A + B)2 = a2 + 2a ∙ B + B2

Trinomialny a2 + 2a ∙ B + B2 zawiera dwa idealne kwadraty: a2 oraz b2, podczas gdy pozostały termin jest równy podwójnemu produktowi dwóch warunków oryginalnego dwumianowego.

Kwadrat różnicy jest trynomiczny podobny do poprzedniej, z wyjątkiem znaku ujemnego, który wpływa na podwójny produkt warunków oryginalnego dwumianowego:

(A - B)2 = (a - b) × (a - b) = a2 - a ∙ b - b ∙ a + b2

Ponownie podobne warunki są redukowane do jednego terminu i uzyskuje się, że:

Może ci służyć: Twierdzenie Moivre

(A - B)2 = a2 - 2a ∙ B + B2

Nie jest już możliwe zmniejszenie wyniku.

Te godne uwagi, łatwo zapamiętywne produkty, kojarzą na przykład idealny kwadratowy trynomial z kwadratem odpowiedniego dwumianowego::

  • (x - 5)2 = x2 - 10 ∙ x + 25
  • (2Y + 3)2 = 4y2 + 12 ∙ Y + 9

Należy zauważyć, że nie wszystkie idealne kwadratowe trynomile są zmienną lub klasą 2. Oto przykłady tego rodzaju trynomianów z dwiema i większą liczbą zmiennych, a także z różnym stopniem 2:

  • (x + y)2 = x2 + 2 ∙ xy + i2
  • (2Z2 + I)2 = 4z4 + 4 ∙ z2i + i2
  • (5xy3 - z)2 = 25x2I6 - 10 XY3Z + z2

Trójmian formy x2 + BX + c

W tym trynomialnym tylko jednym z terminów jest idealny kwadrat, w tym przypadku jest x2 a jego współczynnik numeryczny wynosi 1. Poniższy termin B⋅x jest liniowy, a ostatni termin jest niezależnym terminem. Przykłady tego rodzaju trynomianów to:

  • X2 +  5 ∙ x + 6 (b = 5; c = 6)
  • I2 - 4 ∙ Y + 3 (B = −4; C = 3)
  • M2 - 12 ∙ M + 11 (B = -12; C = 11)

Trójmian formy topora2 + BX + c

Przypomina poprzednie, z tym wyjątkiem, że współczynnik terminu kwadratowego różni się od 1, jak w tych trynomikach:

  • 3x2 - 5 ∙ x - 2 (a = 3; b = −5; c = −2)
  • 6y2 +  7 ∙ Y + 2 (a = 6; b = 7; c = 2)
  • 2M2 + 29 ∙ m + 90 (a = 2; b = 29; c = 90)

Faktoralizacja trynomialna

Bardzo częstą działaniem algebraicznym jest faktinomiczna faktoryzacja, która polega na napisaniu ich jako produktu różnych czynników 1. Istnieją specyficzne procedury dla każdego z opisanych trynomianów.

Perfect Square Trinomial Factorations

Można je uwzględnić przez kontrolę od godnych uwagi produktów:

(A + B)2 = a2 + 2a ∙ B + B2

(A - B)2 = a2 - 2a ∙ B + B2

Kroki do uwzględnienia idealnego kwadratowego trynomianu to:

1.- Sprawdź, czy trójmian zawiera dwa idealne kwadraty2 oraz b2, Oba terminy muszą być poprzedzone tym samym znakiem, zwykle znakiem +. Jeśli oba są poprzedzone znakiem - może to być czynnik bez problemu.

Może ci służyć: Perfect Square Trinomial

2.- Określ wartości A i B, wyodrębniając pierwiastek kwadratowy A2 oraz b2.

3.- Potwierdzić, że trzeci termin jest podwójnym produktem A i B.

Trinomialna faktoralizacja formy x2 + BX + c

Jest to trójmianowy z unikalnym terminem kwadratowym, aby uczynić go, że jest on napisany jako dwa produkty dwumianowe:

X2 + BX + C = (x + r) ∙ (x + s)

Gdzie R i S są dwiema liczbami do ustalenia.

Zauważ, że podczas opracowywania prawej strony, poprzez właściwość dystrybucyjną, jest uzyskiwana:

(x + r) ∙ (x + s) = x2 + S ∙ x + r ∙ x + r ∙ s = x2 + (R + s) ∙ x + r ∙ s

Tak więc, że to wyrażenie odzwierciedla oryginalny trójmian, liczby U i V muszą spełniać następujące warunki:

R ∙ s = c
R + S = B

Niektóre trynomile formy x2 + BX + C nie przyznaje się do faktoryzacji tą metodą, jednak mogą one być czynnikiem przy pomocy wzoru ogólnego lub wzoru rozpuszczalnika.

Trinomialna faktoralizacja postaci topora2 + BX + c

Procedura uwzględnienia tego rodzaju trynomianów jest:

  1. Pomnóż i podziel trynomian przez współczynnik „A”
  2. Wykonaj produkt między „A” a pierwszym i trzecim okresem trynomianu, pozostawiając produkt bez drugiego terminu.
  3. Procedura opisana w poprzednim rozdziale jest stosowana do trynomianu, to znaczy jest zapisywana jako iloczyn dwóch dwumianów, ale w tym przypadku pierwszym terminem każdego dwumianowego nie jest „x”, ale „A ∙ x”.
  4. Poszukiwane są dwie liczby N R i S, że A ∙ C = R ∙ S, a także R + S = B
  5. Wreszcie, dwumianowe, patrz, że ćwiczenie rozwiązane 3 są uproszczone, jak to możliwe.

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Znajdź trójmian, który powstaje podczas opracowywania następującego niezwykłego produktu: (4x - 3y)2

  • Rozwiązanie

Zastosowana jest godna uwagi wzór produktu dla kwadratu różnicy, w wyniku czego:

Może ci służyć: prostokątne współrzędne: Rozwiązane przykłady i ćwiczenia

(4x - 3y)2 = (4x)2 - 2 ∙ 4x ∙ 3y + (3y)2 = 16x2 - 24 ∙ xy + 9y2

Ćwiczenie 2

Fakt następujący trójmian:

X2 +  5x + 6

  • Rozwiązanie

To trynomiast formy x2 + Bx + C, z B = 5 i C = 6, abyś mógł spróbować uwzględnić procedurę opisaną powyżej. Aby to zrobić, musisz znaleźć dwie liczby R i S, które pomnożone są uzyskiwane 6 i dodane w 5:

R ∙ S = 6 i R + S = 5.

Poszukiwane liczby wynoszą r = 3 i s = 2, ponieważ spełniają te warunki, dlatego:

X2 +  5x + 6 = (x + 3) (x + 2)

Czytelnik pozostaje w celu sprawdzenia, czy opracowanie prawej strony można łatwo dotrzeć do oryginalnego trynomianu.

Ćwiczenie 3

Forestize 3x2 - 5x - 2.

  • Rozwiązanie

Jest to trynomial formy topora2 + Bx + C, z A = 3, B = −5 i C = −2. Proces to:

-Pomnóż i podziel przez a = 3:

Zrób produkt „A” dla pierwszego i trzeciego kadencji, pozostawiając produkt wskazany z drugim terminem:

Teraz musisz napisać dwa produkt dwumianowy, którego pierwszy termin to 3x i szukać dwóch liczb R i S, tak że:

  • Po pomnożeniu w -6
  • A po dodaniu algebraicznie uzyskuje się −5

Te liczby to r = -6 i s = 1:

Wreszcie, powstały produkt dwumianowy jest uproszczony:

Proponowane ćwiczenia

Wzór następujące trójmiany: ²

  1. X² - 14x + 49
  2. P² + 12pq + 36q²
  3. 12x² - X - 6
  4. Z² + 6z + 8

Bibliografia

  1. Baldor. 1977. Algebra podstawowa. Wenezuelskie wydania kulturalne.
  2. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
  3. Stewart, J. 2006. Prefrecment: Matematyka do obliczania. 5. Wydanie. Cengage Learning.
  4. Zill, d. 1984. Algebra i trygonometria. 1st. Wydanie. McGraw Hill.
  5. Zill, d. 2008. Prefrecment z postępami obliczeniowymi. 4. Wydanie. McGraw Hill.