Charakterystyka ukośne trójkąty, przykłady, ćwiczenia

Ukośne trójkąty Są tymi, którzy nie mają prostego kąta, dlatego żaden z ich wewnętrznych kątów nie jest równy 90º. Tak więc może być ukośny trójkąt Acutangle Lub rozwarty.

W pierwszym przypadku wewnętrzne kąty trójkąta są ostre lub to, co jest takie same: mniej niż 90º, podczas gdy w drugim, zawsze występuje kąt większy niż 90º, to znaczy kąt tępy. Spójrzmy na przykład każdego z poniższego rysunku:

Rysunek 1. Skośne trójkąty: po lewej. Po prawej trójkąt ukośny i tępy. Źródło: f. Zapata.

Aby znaleźć długości boków i miary wewnętrznych kątów tego rodzaju trójkątów, przy braku prostych kątów nie można zastosować twierdzenia Pitagorasa.

Istnieją jednak alternatywy dla rozwiązania trójkąta: twierdzenia cosinusa i piersi oraz fakt, że suma kąta wewnętrznego jest równa 180º.

[TOC]

Przykłady Trikuágulos Triangles

Prowadząc się na rycinie 1, możemy łatwo rozpoznać ukośne trójkąty poprzez dwa kryteria, które podamy poniżej.

Trójkąt acutangle

Być trójkątem boków a, b i c, z α kątem przed bokiem do.

Jeśli kwadrat po boku przeciwny do ostrego kąt α, jest mniejszy niż suma kwadratów pozostałych boków, trójkąt jest ostrożny. Algebraicznie:

Do² < b² + C²; α < 90º

Względny trójkąt równoboczny, ten, który ma swoje trzy strony tej samej miary, jest acutangle, a zatem ukośny, ponieważ jego wewnętrzne kąty są równe i mierzą 60º.

Tępy trójkąt

Z drugiej strony, jeśli kwadrat po przeciwnej stronie Do Pod kątem rozwartym α jest większy niż suma kwadratów pozostałych dwóch, jesteśmy w obecności tępego trójkąta. Dlatego:

Do² > b² + C²; α> 90º

Na przykład trójkąt, którego kąty wewnętrzne wynoszą 105º, 60º i 15º. Zauważ, że 105º + 60º + 15º = 180º.

Twierdzenia o zatokach i cosinusie

Aby rozwiązać ukośne trójkąty, to znaczy znalezienie miar wszystkich ich boków i wszystkich kąty, twierdzenia piersi i cosinus są wymagane.

Niech A, B i C boki trójkąta i α, β i γ ich wewnętrznych kąty. Więc:

Twierdzenie o piersi

Twierdzenie o piersi określa:

Gdzie α jest odwrotnym kątem do boku A, β jest kątem przeciwnym do boku B, a γ jest kątem przed bokiem C.

Może ci służyć: antykiwatywne: formuły i równania, przykłady, ćwiczenia

Równowartość:

Zdecydowaliśmy się zastosować twierdzenie o piersi, gdy zamierzamy rozwiązać trójkąt niż więcej kąty niż boki.

Twierdzenie Coseno

Według twierdzenia Coseno:

C² = a² + B² - 2⋅A⋅B⋅COS γ

Ponownie kąt γ znajduje się przed bokiem C. Możemy również napisać równoważne wyrażenia dla boków A i B, w następujący sposób:

Do² = b² + C² - 2⋅B⋅C⋅COS α

I

B² = a² + C² - 2⋅A⋅C⋅COS β

Twierdzenie cosinusowe jest stosowane najlepiej, gdy wartość dwóch stron i kąt między nimi jest znany. Ponadto, gdy znane zostaną trzy boki trójkąta, twierdzenie pozwala nam obliczyć cosinus kąta między dwoma z nich.

Rozwiązane ćwiczenia

- Ćwiczenie 1

Sprawdź, czy trójkąt, którego boki mierzą 20, 10 i 12 arbitralnych jednostek, jest tępy.

Rozwiązanie

Nie znamy żadnego wewnętrznego kąta, ale zgodnie z kryteriami, które służy rozpoznawaniu tępych trójkątów, możemy podnieść nierówności z kwadratami bok.

Najpierw znajdujemy kwadraty z każdej strony:

20² = 400

10² = 100

12² = 144

I widzimy to rzeczywiście: 400> 100 + 144, od 400> 244. Dlatego trójkąt zawiera kąt większy niż 90º, zlokalizowany przed bokiem, który mierzy 20. W konsekwencji ten trójkąt, oprócz skośnego, jest również tępy.

- Ćwiczenie 2

Biorąc pod uwagę ukośny trójkąt pokazany na ryc. 2, którego miary podano w dowolnych jednostkach, określ:

a) Wartość x. Czy to jest trójkąt lub tępy trójkąt?

b) pozostałe wewnętrzne kąty trójkąta

c) obwód

D) Obszar.

Rysunek 2. 2a) Trójkąt za rok rozwiązany 2 i 2b) Ten sam trójkąt o wysokości, który będzie służyć do określenia obszaru. Źródło: f. Zapata.

Rozwiązanie

Trójkąta znane są dwie sąsiednie strony, których miary wynoszą 38.0 i 45.8 i kąt między nimi, który wynosi 30º, dlatego twierdzenie cosinusowe jest natychmiast zastosowane:

X² = 38.0² + Cztery pięć.8² - 2 x 38.0 x 45.8 x cos 30º = 527.18

Dlatego:

x = (527.18)^1/2 = 22.96

Rysunek sugeruje, że α> 90º i trójkąt są tępe, oprócz ukośnych. Aby to sprawdzić, znajdujemy kwadraty boków, jak to miało miejsce w poprzednim ćwiczeniu:

22.96² = 527.18

38.0² = 1444.00

Cztery pięć.8² = 2097.64

Kąt α jest większy niż 90º, jeśli jest prawdziwy niż kwadrat przeciwnej strony: 45.8²  Jest większy niż suma kwadratów innych stron, czyli 22.96² + 38.0².

Może ci służyć: prawa wykładników

Zobaczmy, czy tak się stanie:

527.18 + 1444.00 = 1971.2

Rzeczywiście:

2097.64> 1971.2

Dlatego kąt α jest większy niż 90º.

Rozwiązanie b

Teraz możemy zastosować twierdzenie o piersi, aby znaleźć jeden z brakujących punktów widzenia. Podniesiemy go pod kątem β:

Sen 30º / 22.96 = sin β / 38

Sen β = 38 x (Sen 30º / 22.96) = 0.8275

β = łuk (0.8275) = 55.84º

Brakujący kąt można znaleźć, wiedząc, że suma wewnętrznych kątów dowolnego trójkąta wynosi 180º. Dlatego:

55.84º + 30º + α = 180º

α = 94.16º

Jeśli jest preferowany, możesz również użyć twierdzenia cosinus, aby znaleźć cosinus kąta, który znajduje się między dwiema sąsiednimi stronami. Po użyciu funkcji łuku Coseno do określenia kąta.

Wyniki mogą się nieco różnić w dziesiętkach, zgodnie z przeprowadzonym zaokrąglaniem.

Rozwiązanie c

Obwód P jest konturem figury, równoważny sumie miar trzech stron:

P = 22.96 + 38.00 + 45.80 = 106.76 jednostek arbitralnych.

Rozwiązanie d

Wzór do obliczenia obszaru dowolnego trójkąta jest:

A = (1/2) x podstawa x wysokość

Musimy wybrać jedną z stron jako podstawę i określić wysokość. Na przykład wybór strony, która mierzy 45.8, rysujemy wysokość H aż do wierzchołka A, która jest czerwoną linią na rysunku 2b.

W ten sposób dzielimy oryginalny trójkąt na dwa prostokąty, oba z H Jako wspólne Cateto. Każdy z nich służy, ponieważ znamy ostrą stronę i kąt.

Zrobimy tego, który ma hipotenusę równą 38, kategorię, która mierzy H, która jest poszukiwana wysokość i ostry kąt równy 30º.

Z pomocą trygonometrycznych przyczyn ostrego kąta 30º H:

Sen 30º = Cateto przeciwieństwo do 30º / hipotenusa = h / 38

H = 38 x Sen 30º = 19

Dlatego:

A = (1/2) x 45.8 x 19 = 435.1 arbitralne obszary obszaru.

Moglibyśmy wybrać inną stronę jako podstawę, na przykład stronę 38, w takim przypadku wysokość H Jest inaczej, ponieważ powstaje kolejny trójkąt prostokąta, ale wynik obszaru jest taki sam. Pozostaje jak ćwiczenie, aby czytelnik mógł to sprawdzić.

- Ćwiczenie 3

Biorąc pod uwagę trójkąt ABC, że A = 45º, B = 60º i A = 12 cm, oblicz inne dane trójkąta.

Może ci służyć: oznaki grupowania

Rozwiązanie

Używając tego suma wewnętrznych kątów trójkąta jest równa 180º, musi:

C = 180º-45º-60º = 75º.

Trzy kąty są już znane. Następnie używamy prawa piersi do obliczenia dwóch braków.

Równania, które powstają, wynoszą 12 / bez (45º) = b / bez (60º) = c / bez (75º).

Z pierwszej równości możesz wyczyścić „b” i uzyskać to:

b = 12*bez (60º)/bez (45º) = 6√6 ≈ 14.696 cm.

Możesz także wyczyścić „C” i uzyskać to:

C = 12*Sin (75º)/Sin (45º) = 6 (1+√3) ≈ 16.392 cm.

- Ćwiczenie 4

Biorąc pod uwagę trójkąt ABC, tak że A = 60º, C = 75º i B = 10 cm, oblicz inne dane trójkąta.

Rozwiązanie

Jak w poprzednim roku, musisz b = 180º-60º-75º = 45º. Ponadto, używając prawa piersi, musisz / bez (60º) = 10 / bez (45º) = c / bez (75º), gdzie uzyskuje się, że a = 10*bez (60º) / bez (45º) = 5 √6 ≈ 12.247 cm i c = 10*sin (75º)/bez (45º) = 5 (1+√3) ≈ 13.660 cm.

- Ćwiczenie 5

Biorąc pod uwagę trójkąt ABC, tak że a = 10 cm, b = 15 cm i c = 80º, oblicz inne dane trójkąta.

Rozwiązanie

W tym ćwiczeniu znany jest tylko kąt, dlatego nie można zacząć, ponieważ w dwóch poprzednich ćwiczeniach. Ponadto nie można zastosować prawa piersi, ponieważ nie można rozwiązać żadnego równania.

Dlatego stosuje się prawo Cosenos. Musisz:

C² = 10²+15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300*0.173 ≈ 272.905 cm,

Tak, że c ≈ 16.51 cm. Teraz, znając 3 strony, prawo piersi jest używane i uzyskuje się, że:

10 / bez (a) = 15 / bez (b) = 16.51 cm /bez (80º).

Stąd, gdy Clear B jest bez (b) = 15*bez (80º)/ 16.51 ≈ 0.894, co oznacza, że ​​b ≈ 63.38º.

Teraz można uzyskać, że a = 180º - 80º - 63.38º ≈ 36.62º.

- Ćwiczenie 6

Boki ukośnego trójkąta to a = 5 cm, b = 3 cm i c = 7 cm. Oblicz kąty trójkąta.

Rozwiązanie

Ponownie, prawa piersi nie można zastosować bezpośrednio, ponieważ żadne równanie nie służyłoby uzyskaniu wartości kątów.

Korzystając z prawa cosinusa, musisz c² = A² + B² - 2Ab cos (c), skąd gdy cos (c) = (a² + b² - c²)/ 2AB = (5² + 3² -7²)/ 2*5 *3 = -15/30 = -1/2, a zatem c = 120º.

Teraz prawo piersi można zastosować, a tym samym uzyskać 5/bez (a) = 3/bez (b) = 7/bez (120º), gdzie B można wyczyścić B i uzyskać to bez (b) = 3* bez (120º )/7 = 0.371, więc b = 21.79º.

Wreszcie ostatni kąt jest obliczany przy użyciu A = 180º-16º-21.79º = 38.21.

Bibliografia

1. Clemens, s. Geometria z aplikacjami. Addison Wesley.
2. Ibáñez, s. 1. 2010. Matematyka III. Cengage Learning.
3. Jiménez, r. Matematyka II: Geometria i trygonometria. 2. Wydanie. osoba.
4. Matematyka dla ciebie. Tępy trójkąt. Odzyskane z: matematyki dla.WordPress.com.
5. Stewart, J. 2007. Przedłużanie. 5. Wydanie. Cengage Learning.