Twierdzenie Moivre

Wyjaśniamy, czym jest twierdzenie Moivre'a, pokazujemy i proponujemy rozwiązane ćwiczenia

Jakie jest twierdzenie Moivre?

On Twierdzenie Moivre Zastosuj podstawowe procesy algebry, takie jak ekstrakcja mocy i korzeni w liczbach złożonych. Twierdzenie zostało stwierdzone przez znanego francuskiego matematyka Abrahama de Moivre'a (1730), który powiązał liczby złożone z trygonometrią.

Abraham Moivre stworzył to stowarzyszenie poprzez wyrażanie piersi i Coseno. Ten matematyk wygenerował rodzaj formuły, w której jest to możliwe.

Wyjaśnienie

Twierdzenie Moivre'a określa następujące czynności:

Jeśli masz liczbę złożoną w formie polarnej z = r_Ɵ, gdzie r jest modułem liczby złożonej z, a kąt ɵ nazywany jest amplitudą lub argumentem dowolnej liczby złożonej o 0 ≤ ɵ ≤ 2π, aby obliczyć jego n-tą mocą, nie będzie konieczne pomnożenie go przez n- TWECES; Oznacza to, że nie jest konieczne tworzenie następującego produktu:

Z^N = z _* z _* z_{*… *} Z = r_{Ɵ *} R_{Ɵ *} R_{Ɵ *… *} R_Ɵ   N-you.

W przypadku Contrario Twierdzenie mówi, że pisząc Z w formie trygonometrycznej, aby obliczyć jedyną władzę, postępuj w następujący sposób:

Tak z = r (cos ɵ + i _* sin ɵ) następnie z^N = r^N (cos n*ɵ + i _* sin n*ɵ).

Na przykład, jeśli n = 2, to z z² = r²[cos 2 (ɵ) + i Sen 2 (ɵ)]. Jeśli musisz n = 3, to z³ = z² _* z. Oprócz:

z³ = r²[cos 2 (ɵ) + i Sen 2 (ɵ)] _* R [cos 2 (ɵ) + i Sen 2 (ɵ)] = r³[cos 3 (ɵ) + i Sen 3 (ɵ)].

W ten sposób trygonometryczne przyczyny piersi i cosinusa można uzyskać dla wielokrotności kąta, o ile znane są przyczyny trygonometryczne kąta.

W ten sam sposób można go użyć do znalezienia bardziej precyzyjnych i mniej mylących wyrażeń dla N -korzenia złożonej liczby Z, tak że Z^N = 1.

Aby zademonstrować twierdzenie Moivre'a, stosuje się zasadę indukcji matematycznej: jeśli liczba całkowita „A” ma właściwość „p”, a jeśli dla jakiejkolwiek liczby całkowitej „n” większa niż „a”, która ma właściwość „p” se. + 1 ma również właściwość „p”, więc wszystkie liczby większe lub równe, że „a” mają właściwość „p”.

Demonstracja twierdzenia Moivre

W ten sposób demonstracja twierdzenia odbywa się z następującymi krokami:

Baza indukcyjna

Najpierw jest sprawdzany pod kątem n = 1.

Może ci służyć: ograniczenie: definicja, typy, formuły, na przykład, na przykład

Jak Z¹ = (r (cos ɵ + i _* Sen ɵ))¹ = r¹ (Cos ɵ + i _* Sen ɵ)¹ = r¹ [CO (1_* Ɵ) + i _* Sen (1_* Ɵ)], musi n = 1 twierdzenie jest spełnione.

Hipoteza indukcyjna

Formuła ma być prawdziwa w przypadku niektórych pozytywnych liczb całkowitych, to znaczy n = k.

z^k = (r (cos ɵ + i _* Sen ɵ))^k  = r^k (cos k ɵ + i _* sin k ɵ).

Weryfikacja

Udowodniono, że dotyczy to n = k + 1.

Jak Z^K+1= z^k _* Z, potem z^K+1 = (r (cos ɵ + i _* Sen ɵ))^K+1 = r^k (Cos kɵ + i _* sin kɵ) _*  R (cos ɵ + i_* Senɵ).

Następnie wyrażenia mnożą się:

z^K+1 = r^K+1((cos kɵ)_*(cosɵ) + (cos kɵ)_*(Siema_*sinɵ) + (i _* sin kɵ)_*(cosɵ) + (i _* sin kɵ)_*(Siema_* Senɵ)).

Przez chwilę współczynnik R jest ignorowany^K+1,  I otrzymujesz wspólny czynnik I:

(cos kɵ)_*(cosɵ) + i (cos kɵ)_*(Senɵ) + I (Sen Kɵ)_*(cosɵ) + i²(Sen Kɵ)_*(Senɵ).

Jak ja² = -1, zastępujemy go w wyrażeniu i otrzymujemy:

(cos kɵ)_*(cosɵ) + i (cos kɵ)_*(Senɵ) + I (Sen Kɵ)_*(cosɵ) - (sin kɵ)_*(Senɵ).

Teraz zamawiana jest część prawdziwej i wyimaginowanej:

(cos kɵ)_*(cosɵ) - (sin kɵ)_*(sinɵ) + i [(sin kɵ)_*(cosɵ) + (cos kɵ)_*(Senɵ)].

Aby uprościć wyrażenie, stosuje się trygonometryczne tożsamości kątów dla cosinus i zatok, które są:

cos (a+b) = cos a _* cos b - sen a _* Sin b.

sin (a+b) = sen a _* cos b -cos a _* cos b.

W takim przypadku zmienne to kąty ɵ i kɵ. Stosując tożsamości trygonometryczne, masz:

COS Kɵ _* cosɵ -  sin kɵ _* sinɵ = cos (kɵ + ɵ)

sin kɵ _* cosɵ + cos kɵ _* sinɵ = sin (kɵ + ɵ)

W ten sposób wyrażenie pozostaje:

z^K+1 = r^K+1 (cos (kɵ + ɵ) + i _* sin (kɵ + ɵ))

z^K+1 = r^K+1(cos [(k +1) ɵ] + i _* sin [(k +1) ɵ]).

W ten sposób można wykazać, że wynik jest prawdziwy dla n = k+1. Zgodnie z zasadą indukcji matematycznej stwierdza się, że wynik jest prawdziwy dla wszystkich pozytywnych liczb całkowitych; to znaczy n ≥ 1.

Negatywny

Twierdzenie Moivre'a jest również stosowane, gdy n ≤ 0. Rozważmy negatywną całość „N”; Wtedy „n” można napisać jako „-m”, to znaczy n = -m, będąc „m” pozytywną liczbą całkowitą. Dlatego:

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)^N = (cos ɵ + i _* Sen ɵ) ^-M

Aby uzyskać wykładnik „M” w pozytywny sposób, wyrażenie jest zapisane odwrotnie:

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)^N = 1 ÷ (cos ɵ + i _* Sen ɵ) ^M

Może ci służyć: kąt zerowy: definicja i cechy, przykłady, ćwiczenia

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)^N = 1 ÷ (cos mɵ + i _* sin mɵ)

Teraz stosuje się, że jeśli z = a+b*i jest liczbą złożoną, to 1 ÷ z = a-b*i. Dlatego:

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)^N = cos (mɵ) - i _* Sen (Mɵ).

Używając tego cos (x) = cos (-x) i tego -sen (x) = sen (-x), musi:

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)^N = [cos (mɵ) - i _* Sin (Mɵ)]

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)^N = cos (- mɵ) + i _* Sen (-mɵ)

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)^N = cos (nɵ) - i _* Sin (nɵ).

W ten sposób można powiedzieć, że twierdzenie dotyczy wszystkich wszystkich wartości „n”.

Rozwiązane ćwiczenia

Obliczanie mocy dodatnie

Jedną z operacji o liczbach złożonych w postaci polarnej jest pomnożenie między dwoma z nich; W takim przypadku moduły mnożą się i dodawane są argumenty.

Jeśli masz dwie złożone liczbę z₁ i z₂ I chcesz obliczyć (z₁*z₂)², Następnie postępuj w następujący sposób:

z₁z₂ = [r₁ (COS ɵ₁ + Siema _* Sen ɵ₁)] * [R₂ (COS ɵ₂ + Siema _* Sen ɵ₂)]

Nieruchomość dystrybucyjna jest stosowana:

z₁z₂ = r₁ R₂ (COS ɵ_1* cos ɵ₂ + Siema _* cos ɵ_1* Siema _* Sen ɵ₂ + Siema _* Sen ɵ_1* cos ɵ₂ + Siema²_* Sen ɵ_1* Sen ɵ₂).

Są zgrupowane, rysując termin „i” jako wspólny czynnik wyrażeń:

z₁z₂ = r₁ R₂ [cos ɵ_1* cos ɵ₂ + Ja (cos ɵ_1* Sen ɵ₂ + Sen ɵ_1* cos ɵ₂) + i²_* Sen ɵ_1* Sen ɵ₂]

Jak ja² = -1, jest zastępowany w wyrażeniu:

z₁z₂ = r₁ R₂ [cos ɵ_1* cos ɵ₂ + Ja (cos ɵ_1* Sen ɵ₂ + Sen ɵ_1* cos ɵ₂) - Sen ɵ_1* Sen ɵ₂]

Prawdziwe warunki z prawdziwymi i wyobrażonymi z wyobrażonym są przegrupowane:

z₁z₂ = r₁ R₂ [(cos ɵ_1* cos ɵ₂ - Sen ɵ_1* Sen ɵ₂) + i (cos ɵ_1* Sen ɵ₂ + Sen ɵ_1* cos ɵ₂)]

Wreszcie stosowane są właściwości trygonometryczne:

z₁z₂ = r₁ R₂ [CO (ɵ₁ + Ɵ₂) + i Sen (ɵ₁ + Ɵ₂)].

Podsumowując:

(z₁*z₂)²= (r₁ R₂ [CO (ɵ₁ + Ɵ₂) + i Sen (ɵ₁ + Ɵ₂)])²

= R₁²R₂²[cos 2*(ɵ₁ + Ɵ₂) + i sin 2*(ɵ₁ + Ɵ₂)].

Ćwiczenie 1

Napisz liczbę złożoną w formie polarnej, jeśli z = - 2 -2i. Następnie, używając twierdzenia Moivre, oblicz Z⁴.

Rozwiązanie

Liczba złożona z = -2 -2i jest wyrażona w postaci prostokątnej z = a +bi, gdzie:

A = -2.

B = -2.

Wiedząc, że forma polarna to Z = R (cos ɵ + i _* Sen ɵ) konieczne jest określenie wartości modułu „r” i wartości argumentu „ɵ”. Jak R = √ (A²+B²), podane wartości są zastąpione:

Może ci służyć: funkcje trygonometryczne: podstawowy, w płaszczyźnie kartezjańskim, przykłady, ćwiczenia

R = √ (A²+B²) = √ ((-2) ²+(-2) ²)

= √ (4+4)

= √ (8)

= √ (4*2)

= 2√2.

Następnie, aby określić wartość „ɵ”, zastosowana jest prostokątna forma tego, która jest podana przez wzór:

więc ɵ = b ÷ a

Tan ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Jako (ɵ) = 1 i musi<0, entonces se tiene que:

Ɵ = Arcan (1) +π.

= Π/4 +π

= 5π/4.

Jak już osiągnięto wartość „R” i „ɵ”, liczba złożona z = -2 -2i można wyrazić w formie polarnej zastępując wartości:

Z = 2√2 (cos (5π/4)+ i _* sin (5π/4)).

Teraz twierdzenie Moivre służy do obliczenia Z⁴:

z⁴= 2√2 (cos (5π/4)+ i _* sin (5π/4))⁴

= 32 (cos (5π)+ i _* sin (5π)).

Ćwiczenie 2

Znajdź iloczyn liczb złożonych wyrażający go w formie polarnej:

Z1 = 4 (cos 50^albo + Siema_* Sen 50^albo)

Z2 = 7 (cos 100^albo + Siema_* Sen 100^albo).

Następnie oblicz (Z1*Z2) ².

Rozwiązanie

Najpierw powstaje produkt podanych liczb:

z₁ z₂ = [4 (cos 50^albo + Siema_* Sen 50^albo)] * [7 (cos 100^albo + Siema_* Sen 100^albo)]

Następnie moduły mnożą się ze sobą, a argumenty są dodawane:

z₁ z₂ = (4 _* 7)_* [CO (50^albo + 100^albo) + i_* Sen (50^albo + 100^albo)]

Wyrażenie jest uproszczone:

z₁ z₂ = 28 _* (Cos 150^albo + (Siema_* Sen 150^albo).

Wreszcie ma zastosowanie twierdzenie Moivre'a:

(Z1*Z2) ² = (28 _* (Cos 150^albo + (Siema_* Sen 150^albo)) ² = 784 (cos 300^albo + (Siema_* Sen 300^albo).

Obliczanie mocy ujemnych

Podzielić dwie liczby złożone z₁ i z₂ W postaci polarnej moduł jest podzielony, a argumenty są odejmowane. Zatem iloraz jest Z₁ ÷ z₂ I jest wyrażane w następujący sposób:

z₁ ÷ z₂ = R1/R2 ([cos (ɵ₁- Ɵ₂) + i Sen (ɵ₁ - Ɵ₂)]).

Podobnie jak w poprzednim przypadku, jeśli chcesz obliczyć (z1 ÷ z2) ³ Podział jest pierwszym efektem, a następnie zastosowano twierdzenie Moivre.

Ćwiczenie 3

Kachki:

Z1 = 12 (cos (3π/4) + i*sin (3π/4)),

Z2 = 4 (cos (π/4) + i*sin (π/4)),

Oblicz (Z1 ÷ Z2) ³.

Rozwiązanie

Po krokach opisanych powyżej można stwierdzić, że:

(Z1 ÷ Z2) ³ = ((12/4) (cos (3π/4 - π/4) + i*sin (3π/4 - π/4))) ³

= (3 (cos (π/2) + i*sin (π/2)) ³

= 27 (cos (3π/2) + i*sin (3π/2)).

Bibliografia

1. Arthur Goodman, L. H. ( 1996). Algebra i trygonometria z geometrią analityczną. Edukacja Pearsona.
2. Croucher, m. (S.F.). Przez twierdzenie Moivre dotyczące tożsamości Trig. Projekt demonstracji Wolfram.
3. Hazewinkel, m. (2001). Encyklopedia matematyki.
4. Max Peters, w. L. (1972). Algebra i trygonometria.
5. Pérez, c. D. (2010). Edukacja Pearsona.
6. Stanley, g. (S.F.). Algebra liniowa. Graw-Hill.
7. , M. (1997). Prequalculus. Edukacja Pearsona.