Twierdzenie Bolzano

Wyjaśniamy, czym jest twierdzenie Bolzano, jego zastosowania i umieszczone rozwiązane ćwiczenia

Jakie jest twierdzenie Bolzano?

On Twierdzenie Bolzano Stwierdza, że ​​jeśli funkcja jest ciągła we wszystkich punktach zamkniętego interwału [a, b] i jest spełnione, że obraz „a” i „b” (pod funkcją) ma przeciwne znaki, to będzie przynajmniej przynajmniej być przynajmniej Jeden punkt „C” w przedziale otwartym (a, b), tak aby funkcja oceniana w „c” była równa 0.

Twierdzenie to zostało stwierdzione przez filozofa, teolog i matematyk Bernard Bolzano w 1850 roku. Ten naukowiec, urodzony w obecnej Czechach, był jedną z pierwszych matematyki w historii, która formalna demonstracja właściwości funkcji ciągłych.

Wyjaśnienie twierdzenia

Twierdzenie Bolzano jest również znane jako twierdzenie o wartościach pośrednie.

W danej funkcji f (x) trwa -to znaczy, że f (a) i f (b) są połączone krzywą, gdzie f (a) znajduje się poniżej osi x (jest ujemny) i f (b) Przez powyżej osi x (jest dodatnia) lub odwrotnie, będzie punkt cięcia na osi x, który będzie reprezentował wartość pośrednią „c”, która będzie pomiędzy „a” i „b”, a wartością i wartością f (c) będzie równy 0.

Gdy graficznie analizując twierdzenie Bolzano, można wiedzieć, że dla każdej ciągłej funkcji F zdefiniowanej w przedziale [a, b], gdzie f (a)_*f (b) jest mniejsze niż 0, będzie co najmniej jeden root „c” tej funkcji w przedziale (a, b).

Twierdzenie to nie określa liczby punktów istniejących w tym otwartym odstępie, stwierdza tylko, że jest co najmniej 1 punkt.

Demonstracja twierdzenia Bolzano

Aby zademonstrować twierdzenie Bolzano, zakłada się, że bez utraty ogólności F (a) 0; W ten sposób może istnieć wiele wartości między „a” i „b”, dla których f (x) = 0, ale konieczne jest jedynie wykazanie, że istnieje jeden.

Może ci służyć: wyobrażone liczby: właściwości, aplikacje, przykłady

Zaczyna oceniać F w punkcie środkowym (A+B)/2. Jeśli f ((a+b)/2) = 0, to test kończy się tutaj; W przeciwnym razie F ((A+B)/2) jest dodatni lub ujemny.

Jedna z połówek przedziału [a, b] jest wybierana, tak że objawy funkcji ocenianej na końcach są różne. Ten nowy przedział będzie [A1, B1].

Teraz, jeśli F oceniono w punkcie środkowym [A1, B1], nie jest zero, to ta sama operacja jest wykonywana wcześniej; To znaczy połowa tego przedziału, która spełnia warunek znaków. Być tym nowym przedziałem [A2, B2].

Jeśli ten proces będzie kontynuowany, będą dwie sukcesy an i bn, takie, że:

an rośnie i bn maleje:

A ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ ≤ .. . ≤ .. . ≤ Bn ≤ .. . ≤ B2 ≤ B1 ≤ B.

Jeśli obliczona zostanie długość każdego przedziału [AI, BI], będziesz musiał:

B1-A1 = (B-A)/2.

B2-A2 = (B-A)/2².

.. .

Bn-an = (b-a)/2^n.

Dlatego granica, gdy n ma tendencję do nieskończoności (Bn-an) jest równa 0.

Korzystanie z tego an rośnie i ograniczone i bn maleje i ogranicza się, istnieje wartość „c” tak, że:

A ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ ≤ .. .≤ c ≤ .. . ≤ Bn ≤ .. . ≤ B2 ≤ B1 ≤ B.

Limit limonki to „c”, a limit bn to także „c”. Dlatego, biorąc pod uwagę dowolne δ> 0, zawsze istnieje „N”, tak że interwał [an, Bn] jest zawarty w tym przedziale (C-δ, C+δ).

Teraz należy wykazać, że f (c) = 0.

Jeśli f (c)> 0, to jako f jest ciągłe, istnieje ε> 0, tak że F jest dodatni w całym przedziale (c -ε, c+ε). Jednak, jak wspomniano powyżej, istnieje wartość „N”, taka, że ​​F zmienia znak w [an, bn], a ponadto [an, bn] jest zawarty w (c -ε, c+ε), co to jest sprzeczność.

Jeśli f (c) 0 tak, że f jest ujemne w całym przedziale (c -ε, c+ε); Ale istnieje wartość „N”, która F zmienia podpisy w [An, Bn]. Okazuje się, że [An, Bn] jest zawarty w (C -ε, C+ε), co jest również sprzecznością.

Może ci służyć: oznaki grupowania

Dlatego f (c) = 0 i to właśnie chciał zostać zademonstrowany.

Do czego jest twierdzenie Bolzano?

Z jego interpretacji graficznej twierdzenie Bolzano służy do znalezienia korzeni lub zera w funkcji ciągłej, poprzez podział (podejście), która jest przyrostową metodą wyszukiwania, która zawsze dzieli przedziały na 2.

Zatem, jeśli funkcja zmienia się w przedziale, funkcja F jest oceniana w punkcie środkowym, co jest wyrażone w następujący sposób:Korzeń znajduje się, gdy f (c) = 0. Jeśli nie, znak F (C) jest analizowany w celu ustalenia, czy jest on przeciwny znakowi F (a) lub objawu f (b).

Następnie przyjmuje się przedział [a, c] lub [c, b], gdy następuje zmiana znaku, a proces powtarzany jest, aż przedział będzie coraz mniejszy, aby zbliżyć się do żądanej wartości; to znaczy do wartości, którą wykonuje funkcja 0.

Podsumowując, aby zastosować twierdzenie Bolzano, a tym samym znaleźć korzenie, ograniczyć zerę funkcji lub podaj rozwiązanie równaniu, wykonuje się następujące kroki:

1. Jest weryfikowane, czy F jest funkcją ciągłą w przedziale [a, b].
2. Jeśli przedział nie jest podany, należy znaleźć taki, w którym funkcja jest ciągła.
3. Jest weryfikowane, czy końce przedziału dają przeciwne znaki, gdy są oceniane w F.
4. Jeśli nie uzyskano przeciwnych znaków, przedział musi być podzielony na dwa podinterwale za pomocą punktu środkowego.
5. Oceń funkcję w punkcie środkowym i sprawdź, czy hipoteza Bolzano jest spełniona, gdzie f (a) _* f (b) < 0.
6. W zależności od znaku (dodatniego lub ujemnego) znalezionej wartości, proces powtarza się z nowym podinterem, dopóki wspomniana hipoteza nie zostanie spełniona.

Może ci służyć: programowanie nieliniowe: metody i ćwiczenia

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Określ, czy funkcja f (x) = x² - 2, ma co najmniej jedno prawdziwe rozwiązanie w przedziale [1,2].

Rozwiązanie

Masz funkcję f (x) = x² - 2. Jak wielomian, oznacza to, że jest ciągły w każdym przedziale.

Poproszono o ustalenie, czy ma prawdziwe rozwiązanie w przedziale [1, 2], więc teraz musisz tylko zastąpić końce przedziału w funkcji, aby poznać ich znak i wiedzieć, czy spełniają stan istnienia różny:

f (x) = x² - 2

f (1) = 1² - 2 = -1 (ujemny)

f (2) = 2² - 2 = 2 (dodatnie)

Dlatego znak F (1) ≠ znak f (2).

Zapewnia to, że istnieje co najmniej jeden punkt „c”, który należy do interwału [1,2], w którym f (c) = 0.

W takim przypadku wartość „C” można łatwo obliczyć w następujący sposób:

X² - 2 = 0

x = ± √2.

Zatem √2 ≈ 1,4 należy do interwału [1,2] i spełnia, że ​​F (√2) = 0.

Ćwiczenie 2

Zademonstruj to równanie x⁵ + x + 1 = 0 ma co najmniej jedno prawdziwe rozwiązanie.

Rozwiązanie

Najpierw zauważamy, że f (x) = x⁵ + X + 1 jest funkcją wielomianową, co oznacza, że ​​jest ciągła we wszystkich liczbach rzeczywistości.

W takim przypadku nie podano interwału, więc musisz wybrać wartości intuicyjnie, najlepiej blisko 0, aby ocenić funkcję i znaleźć zmiany znaku:

Jeśli używany jest interwał [0, 1], musi:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

Ponieważ nie ma zmiany znaku, proces powtarza się w innym przedziale.

Jeśli używany jest interwał [-1, 0], musisz:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (-1) = (-1)⁵ + (-1) + 1 = -1 < 0.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

W tym przedziale jest zmiana znaku: znak f (-1) ≠ znak f (0), co oznacza, że ​​funkcja f (x) = x⁵ + X + 1 ma co najmniej jeden prawdziwy root „c” w przedziale [-1, 0], taki, że f (c) = 0. Innymi słowy, prawdą jest, że x⁵ + x + 1 = 0 ma prawdziwe rozwiązanie w przedziale [-1,0].