Seria przykładów i ćwiczeń

A Seria Power Składa się z suma terminów w formie mocy zmiennej X, lub bardziej ogólnie, X-C, Gdzie C To stała liczba rzeczywista. W sumowaniu suma serii mocarstw wyraża się to w następujący sposób:

∑a_N (X -c)^N = a_albo + Do₁ (x - c) + a₂ (X - c)² + Do₃ (X - c)³ +… + A_N (X - c)^N

Gdzie współczynniki_albo, Do₁, Do₂… Są to liczby rzeczywiste, a seria zaczyna się od n = 0.

Rysunek 1. Definicja serii mocy. Źródło: f. Zapata.

Ta seria koncentruje się na wartości C To jest stałe, ale możesz to wybrać C Być równe 0, w którym to przypadku uprawnienia są uproszczone:

∑a_N X^N = a_albo + Do₁ x + a₂ X² + Do₃ X³ +… + A_N X^N

Seria zaczyna się od Do_albo(X-C)⁰ I Do_alboX⁰ odpowiednio. Ale wiemy o tym:

(X-C)⁰= x⁰ = 1

Dlatego Do_albo(X-C)⁰ = Do_alboX⁰ = Do_albo (Niezależny termin)

Dobrą rzeczą w uprawnieniach mocarstw jest to, że dzięki nimi możesz wyrażać funkcje, a to ma wiele zalet, szczególnie jeśli chcesz pracować ze skomplikowaną funkcją.

Kiedy tak jest, zamiast bezpośrednio korzystać z funkcji, jego rozwój mocy jest używany, co może być łatwiejsze do uzyskania, integracji lub pracy numerycznej.

Oczywiście wszystko jest uwarunkowane zbieżnością serii. Seria zbiega się przy dodaniu określonej ilości warunków, uzyskuje się stałą wartość. A jeśli dodamy więcej warunków, nadal uzyskujemy tę wartość.

[TOC]

Funkcjonuje jako moce

Jako przykład funkcji wyrażonej jako seria mocy, weźmy f (x) = e^X.

Funkcję tę można wyrazić w kategoriach serii mocy w następujący sposób:

I^X  ≈ 1 + x + (x² / 2!) + (X³ / 3!) + (x⁴ / 4!) + (x⁵ / 5!) +..

Gdzie! = n. (N-1). (N-2). (N-3)… i jest przyjmowany 0! = 1.

Sprawdzimy za pomocą kalkulatora, który seria skutecznie pokrywa się z wyraźnie podaną funkcją. Na przykład zacznijmy robić x = 0.

Może ci służyć: teoretyczne prawdopodobieństwo: jak to wyciągnąć, przykłady, ćwiczenia

Wiemy, że e⁰ = 1. Zobaczmy, co robi serial:

I⁰ ≈ 1 + 0 + (0² / 2!) + (0³ / 3!) + (0⁴ / 4!) + (0⁵ / 5!) +… = 1

A teraz spróbujmy z x = 1. Rzuca to kalkulator I¹ = 2.71828, A potem porównajmy z serią:

I¹ ≈ 1 + 1 + (1² / 2!) + (1³ / 3!) + (1⁴ / 4!) + (1⁵ / 5!) +… = 2 + 0.5000 + 0.1667 + 0.0417 + 0.0083 +… ≈ 2.7167

Mając tylko 5 terminów, mamy już dokładnie przypadek E ≈ 2.71. W naszej serii brakuje tylko trochę, ale wraz z dodaniem więcej warunków, z całą pewnością seria zbiega się z dokładną wartością I. Reprezentacja jest dokładna, gdy N → ∞.

Jeśli poprzednia analiza jest powtarzana dla n = 2 Uzyskuje się bardzo podobne wyniki.

W ten sposób jesteśmy pewni, że funkcja wykładnicza f (x) = e^X Może to być reprezentowane przez tę serię mocy:

Rysunek 2. W tej animacji jest to postrzegane jako moce są bliższe funkcji wykładniczej, ponieważ więcej terminów jest przyjmowanych. Źródło: Wikimedia Commons.

Geometryczne moce mocy

Funkcja f (x) = e^X Nie jest to jedyna funkcja, która przyznaje szeregowe przedstawienie mocy. Na przykład funkcja  F(x) = 1/1 - x  Wygląda bardzo podobnie do znanego Zbieżne serie geometryczne:

∑a.R^N = A / 1 - r

Po prostu wykonaj a = 1 i r = x, aby uzyskać odpowiednią serię do tej funkcji, która jest wyśrodkowana na c = 0:

Wiadomo jednak, że ta seria jest zbieżna dla │r│<1, por lo tanto la representación es válida únicamente en el intervalo (-1,1), aunque la función sea válida para todo x, excepto x=1.

Kiedy chcesz zdefiniować tę funkcję w innym przedziale, po prostu koncentruje się na odpowiedniej wartości i gotowej.

Jak znaleźć rozwój serii mocy funkcji

Każda funkcja może być opracowana w serii mocy skupionych na C, o ile wyprowadziłeś ze wszystkich zamówień przy x = c. Procedura wykorzystuje następujące twierdzenie, zwane Twierdzenie Taylor:

Niech f (x) będzie funkcją z pochodnymi zamówień N, oznaczone jako F^(N), który przyznaje seryjny rozwój uprawnień w tym czasie Siema. Jego rozwój w Seria Taylor Jest:

Może ci służyć: jaka jest lokalizacja liczb całych i dziesiętnych?

Aby:

f (x) = f (c) + f '(c) (x-c) + f "(c) (x-c)² /2 + F "(C) (X-C)³ /6 +… r_N

Gdzie r_N, który jest n -tym serii, nazywa się pozostałość:

Kiedy C = 0 nazywana jest seria Seria Maclaurin.

Ta seria podana tutaj jest identyczna z serią podaną na początku, tylko teraz istnieje sposób na wyraźne znalezienie współczynników każdego terminu, podane przez:

Należy jednak upewnić się, że seria przekazuje funkcję, którą chcesz reprezentować. Zdarza się, że nie każda seria Taylor koniecznie zbiega się z F (X), o której mawiało, obliczając współczynniki Do_N.

Dzieje się tak, ponieważ być może te pochodzące z funkcji, oceniane w x = c pokrywa się z tą samą wartością pochodzących z innej, również w x = c. W tym przypadku współczynniki byłyby takie same, ale rozwój byłby niejednoznaczny, nie mając pewności, która funkcja odpowiada.

Na szczęście istnieje sposób na poznanie:

Kryteria konwergencji

Aby uniknąć dwuznaczności, jeśli r_N → 0 Gdy n → ∞ dla wszystkich x w przedziale I, seria zbiega się do f (x).

Ćwiczenia

- Ćwiczenie rozwiązane 1

Znajdź moce geometryczne dla funkcji f (x) = 1/2 - x skupiony na C = 0.

Rozwiązanie

Podana funkcja musi być wyrażona w sposób, który pasuje jak najwięcej z 1/1- x, którego seria jest znana. Dlatego przepisujemy licznik i mianownik, nie zmieniając oryginalnego wyrażenia:

1/2 - x = (1/2) / [1 - (x / 2)]

Ponieważ ½ jest stałe, wychodzi z suma, a jest to zapisane w kategoriach nowej zmiennej x/2:

Może ci służyć: sprzężony dwumian: jak jest rozwiązany, przykłady, ćwiczenia

Zauważ, że x = 2 nie należy do domeny funkcji i zgodnie z kryteriami konwergencji podane w sekcji Seria geometryczna mocy, Rozwój jest ważny dla │x/2│< 1 o equivalentemente -2 < x < 2.

- Ćwiczenie rozwiązane 2

Znajdź pierwsze 5 warunków opracowywania serii Maclaurin funkcji f (x) = Sen x.

Rozwiązanie

Krok 1

Pierwsze są pochodne:

-Pochodzą od zamówienia 0: Jest to ta sama funkcja f (x) = Sen x

-Pierwsza pochodna: (sin x) '= cos x

-Druga pochodna: (sin x) "= (cos x) '= - sin x

-Trzecia pochodna: (sin x) "= (-sen x) '= - cos x

-Czwarta pochodna: (sin x) "= (- cos x) '= sin x

Krok 2

Następnie każda pochodna jest oceniana na x = c, podobnie jak rozwój Maclaurin, c = 0:

sin 0 = 0; cos 0 = 1; - Sen 0 = 0; -COS 0 = -1; sin 0 = 0

Krok 3

Współczynniki są zbudowane_N;

Do_albo = 0/0! = 0; Do₁ = 1/1! = 1; Do₂ = 0/2! = 0; Do₃ = -1 / 3!; Do₄ = 0/4! = 0

Krok 4

Wreszcie seria jest montowana zgodnie z:

sin x ≈ 0.X⁰ + 1. X¹ + 0 .X² - (1/3!) X³ + 0.X⁴... = x - (1/3!)) X³  +..

Czy czytelnik potrzebuje więcej warunków? Ile jeszcze seria jest bliżej funkcji.

Zauważ, że istnieje wzór współczynników, następujący termin bez żadnego zeru₅ I cały nieparzysty wskaźnik różni się również od 0, naprzemiennie znaki, więc:

Sen x ≈ x - (1/3!)) X³  + (1/5!)) X⁵ - (1/7!)) X⁷  +.. .

Pozostaje to ćwiczenie do weryfikacji, możesz użyć Stosunek ilorazu Dla konwergencji serii.

Bibliografia

1. Fundacja CK-12. Seria mocy: reprezentacja funkcji i operacji. Odzyskane z: CK12.org.
2. Engler, a. 2019. Rachunek integralny. National University of the Coast.
3. Larson, r. 2010. Obliczanie zmiennej. 9na. Wydanie. McGraw Hill.
4. Darmowe teksty matematyki. Seria Power. Odzyskane z: matematyki.Liibretexts.org.
5. Wikipedia. Seria Power. Odzyskane z: jest.Wikipedia.org.