Multiplikatywne techniki zliczania zasad i przykłady

Jaka jest zasada multiplikatywna?

On Zasada multiplikatywna Jest to technika, która służy do rozwiązywania problemów z liczeniem, aby znaleźć rozwiązanie bez konieczności wymienienia jego elementów. Jest również znany jako podstawowa zasada analizy kombinatorycznej; Opiera się na kolejnym mnożaniu w celu ustalenia sposobu wystąpienia zdarzenia.

Ta zasada określa, że ​​jeśli jest to decyzja₁) Można go podjąć w N i kolejną decyzję (D₂) Mneras można podjąć, łączną liczbę sposobów podejmowania decyzji d₁ i d₂ Będzie to samo co mnożnie n _* M. Zgodnie z zasadą każda decyzja jest podejmowana po innej: liczba sposobów = n_{1 *} N₂.. _* N_X sposoby.

Przykłady

Przykład 1

Paula planuje pójść do kina z przyjaciółmi i wybrać ubrania, które będzie nosić, oddzielić 3 bluzki i 2 spódnice. Ile sposobów może się ubrać?

• Rozwiązanie

W takim przypadku Paula musi podejmować dwie decyzje:

D₁ = Wybierz między 3 bluzkami = n

D₂ = Wybierz między 2 spódnicami = m

W ten sposób Paula ma n _* M decyzje o podejmowaniu różnych sposobów ubierania się.

N _* M = 3_* 2 = 6 decyzji.

Zasada multiplikatywna rodzi się z techniki diagramu drzewa, który jest schematem, który wiąże wszystkie możliwe wyniki, dzięki czemu każdy może wystąpić skończona liczba razy.

Przykład 2

Mario był bardzo spragniony, więc poszedł do piekarni, aby kupić sok. Luis służy mu i mówi mu, że ma w dwóch rozmiarach: duży i mały; i cztery smaki: jabłko, pomarańczowe, cytrynowe i winogrona. Ile sposobów Mario może wybrać sok?

• Rozwiązanie

Na schemacie można zauważyć, że Mario ma 8 różnych sposobów wyboru soku i że, jak w zasadzie multiplikatywnej, wynik ten jest uzyskiwany przez mnożenie n_*M. Jedyną różnicą jest to, że na tym schemacie możesz wiedzieć, w jaki sposób jest sposób, w jaki Mario wybiera sok.

Może ci służyć: marka klasowa

Z drugiej strony, gdy liczba możliwych wyników jest bardzo duża, bardziej praktyczne jest użycie zasady multiplikatywnej.

Techniki zliczania

Techniki zliczania są metodami stosowanymi do bezpośredniego zliczenia, a tym samym znają liczbę możliwych ustaleń, które mogą mieć elementy określonego zestawu. Techniki te oparte są na kilku zasadach:

Zasada dodawania

Ta zasada określa, że ​​jeśli dwa zdarzenia M i N nie mogą wystąpić jednocześnie, liczba sposobów jako pierwszego lub drugiego zdarzenia będzie sumą M + N:

Liczba form = m + n ... + x różne formy.

Przykład

Antonio chce odbyć podróż, ale nie decyduje o celu; W Agencji Turystyki Południowej oferują promocję podróży do Nowego Jorku lub Las Vegas, podczas gdy Agencja Turystyki Wschodniej zaleca podróż do Francji, Włoch lub Hiszpanii. Ile różnych alternatyw podróży oferuje Antonio?

Rozwiązanie

Z południową agencją turystyczną Antonio ma 2 alternatywy (Nowy Jork lub Las Vegas), podczas gdy z Wschodnią Agencją Tourism ma 3 opcje (Francja, Włochy lub Hiszpania). Liczba różnych alternatyw to:

Liczba alternatyw = m + n = 2 + 3 = 5 alternatyw.

Zasada permutacji

Chodzi o konkretne zamówienie wszystkich lub niektórych elementów, które tworzą zestaw, aby ułatwić liczenie wszystkich możliwych ustaleń, które można wykonać za pomocą elementów.

Liczba permutacji n różnych elementów, przyjmowanych jednocześnie, jest reprezentowana jako:

_NP_N = n!

Przykład

Czterech przyjaciół chce zrobić zdjęcie i chcą wiedzieć, ile różnych sposobów można zamówić.

Rozwiązanie

Chcesz poznać zestaw wszystkich możliwych sposobów, w jakie 4 osoby można umieścić do zrobienia zdjęcia. Zatem musisz:

₄P₄ = 4! = 4_*3_*2_*1 = 24 różne sposoby.

Jeśli liczba permutacji dostępnych elementów jest pobierana przez części zestawu utworzonego przez elementy R, jest on reprezentowany jako:

Może ci służyć: jaki jest zakres statystyk? (Z przykładami)

_NP_{R =} N! ÷ (n - r)!

Przykład

W klasie masz 10 pozycji. Jeśli 4 uczniów uczęszcza na zajęcia, na ile uczniowie mogą zajmować stanowiska?

Rozwiązanie

Całkowita liczba zestawów krzeseł wynosi 10, a zostaną one używane tylko 4. Dany wzór jest stosowany w celu ustalenia liczby permutacji:

_NP_R = n! ÷ (n - r)!

₁₀P₄ = 10! ÷ (10–4)!

₁₀P₄ = 10! ÷ 6!

₁₀P₄= 10_* 9_*8_*7_*6_*5_*4_*3_*2_*1 ÷ 6_*5_*4_*3_*2_*1 = 5040 sposobów zajmowania pozycji.

Są przypadki, w których niektóre z dostępnych elementów zestawu są powtarzane (są one równe). Aby obliczyć liczbę ustaleń przyjmujących wszystkie elementy w tym samym czasie, stosowana jest następująca formuła:

_NP_R = n! ÷ n₁!_* N₂!… N_R!

Przykład

Ile różnych słów czterech liter można utworzyć słowo „wilk”?

Rozwiązanie

W takim przypadku są 4 elementy (litery), z których dwa z nich są dokładnie takie same. Stosując daną formułę, wiadomo, ile różnych słów:

_NP_R = n! ÷ n₁!_* N₂!… N_R!

₄P_{2, 1.1} = 4! ÷ 2!_*1!_*1!

₄P_{2, 1, 1} = (4_*3_*2_*1) ÷ (2_*1)_*1_*1

₄P_{2, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 różnych słów.

Zasada kombinacji

Chodzi o naprawienie wszystkich lub niektórych elementów, które tworzą zestaw bez określonej kolejności. Na przykład, jeśli masz układ XYZ, będzie to identyczne z aranżacjami ZXY, YZX, ZYX; Wynika to z faktu, że pomimo tego, że nie jest w tej samej kolejności, elementy każdego układu są takie same.

Gdy pobrane są niektóre elementy (r) zbioru (n), zasadę kombinacji podaje następujący wzór:

_NC_{R =} N! ÷ (n - r)!R!

Przykład

W sklepie sprzedają 5 różnych rodzajów czekolady. Ile różnych sposobów można wybrać 4 czekoladki?

Może ci służyć: zgodność: zgodne dane, kryteria, przykłady, ćwiczenia

Rozwiązanie

W takim przypadku musisz wybrać 4 czekoladki z 5 typów, które sprzedają się w sklepie. Kolejność, w jakiej są wybierane, nie ma znaczenia, a ponadto można wybrać rodzaj czekolady więcej niż dwa razy. Stosując formułę, musisz:

_NC_R = n! ÷ (n - r)!R!

₅C₄ = 5! ÷ (5–4)! 4!

₅C₄ = 5! ÷ (1)!4!

₅C₄ = 5_*4_*3_*2_*1 ÷ 4_*3_*2_*1

₅C₄ = 120 ÷ 24 = 5 różnych sposobów wyboru 4 czekoladek.

Gdy wszystkie elementy (r) są pobierane, zasadę kombinacji podaje następujący wzór:

_NC_{n =} N!

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Masz drużynę baseballową z 14 członkami. Ile sposobów można przypisać 5 pozycji do gry?

• Rozwiązanie

Zestaw składa się z 14 elementów i chcesz przypisać 5 konkretnych pozycji; to znaczy, że zamówienie ma znaczenie. Formuła permutacji jest stosowana, w których dostępne elementy są pobierane przez części zestawu utworzonego przez r.

_NP_{R =} N! ÷ (n - r)!

Gdzie n = 14 i r = 5. Jest zastępowany w formule:

₁₄P₅ = 14! ÷ (14–5)!

₁₄P₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄P₅ = 240 240 sposobów na przypisanie 9 pozycji gry.

Ćwiczenie 2

Jeśli rodzina 9 członków wyrusza na wycieczkę i kupi bilety z kolejnymi pozycjami, ile różnych sposobów może usiąść?

• Rozwiązanie

To 9 elementów, które będą zajmować 9 miejsc kolejno.

P₉ = 9!

P₉ = 9_*8_*7_*6_*5_*4_*3_*2_*1 = 362 880 Różne sposoby siedzenia.

Bibliografia

1. Hopkins, ur. (2009). Zasoby do nauczania dyskretnej matematyki: projekty w klasie, moduły historii i artykuły.
2. Johnsonbaugh, r. (2005). Matematyka dyskretna. Edukacja Pearsona,.
3. Lutfiyya, l. DO. (2012). Skończony i dyskretny rozwiązywanie problemów matematycznych. Redaktorzy stowarzyszenia badań i edukacji.
4. Padró, f. C. (2001). Matematyka dyskretna. Politèc. Katalonii.
5. Steiner, e. (2005). Matematyka nauk stosowanych. Rectte.