Geometria euklidyjska
- 2403
- 40
- Herbert Wróblewski
Wyjaśniamy, jaka jest geometria euklidyjska, jej historia, elementy i podajemy kilka przykładów
Euclid z Aleksandrii i jej elementów, autorstwa Jusepe de Ribera, obok, dwie nierównoległe linie i linia, która je przecina, ilustrując piąty postulat. Źródło: Wikimedia Commons.Co to jest geometria euklidyjska?
Geometria euklidyjska Jest to ten, który rządzą postulatami przez Euclida de Alejandría, greckiego geometru, który żył w kierunku 300.C, na którego cześć nazywana jest ta dyscyplina, ponieważ jako pierwsza ją usystematyzowała.
Ta gałąź matematyki bada właściwości linii, samolotów, kątów i postaci geometrycznych, takich jak wielokąty, obwody i inne stożki. Stąd jego znaczenie w nauce i inżynierii, których rozwój znacznie skłonił.
Z drugiej strony geometria euklidesowa była pierwszą nauką ścisłą, ponieważ wraz z nią rozpoczęła się ścieżka systematyzacji nauki, a także użycie logiki do wykazania, z kilku aksjomatów, licznych propozycji zwanych twierdzeniami, w celu opisania właściwości obiektów geometrycznych.
Historia
Geometria ma długą historię, ponieważ zainteresowanie ludzkości jest bardzo stare, a ośrodkowa oś geometrii euklidesowej jest dziełem Rzeczy, mądrego euclida w Aleksandrii, miasta położonym w Egipcie i który żył w czwartym wieku.C.
W tym czasie znane były najważniejsze właściwości wielu liczb i ciał geometrycznych. Była obszerna wiedza na temat geometrii, ale wszystko było empiryczne i brakowało systematyzacji.
Następnie król Egiptu Ptolemeusz i powierzył już znanego nauczyciela Euclida, którego szkoła była w Aleksandrii, aby zorganizować całą dostępną wiedzę matematyczną i geometryczną, w tym twierdzenia i nieruchomości.
Euclides zaczął pracować, a obok swoich uczniów napisał swoje elementy pracy, które podzielił na trzynaście książek, jako rozdziały. Ta praca stałaby się odniesieniem do geometrii dla przyszłych pokoleń.
Może ci służyć: kolejne pochodneElementy Euclida
Treść elementów jest zorganizowana w następujący sposób:
- W książkach I do IV rozwija się płaska geometria.
- W książkach V i widzieliśmy teorię proporcji.
- Książki IX są poświęcone arytmetyce.
- W książce x pojawia się w książce x,
- Geometria przestrzeni w książkach XI do XIII.
Geometria euklidesowa była podstawą wielu tylnych rozwoju geometrycznego i obecnie jest uczy się we wszystkich szkołach na świecie.
Ma również zalety bycia pierwszą pracą obejmującą staranne demonstracje oparte na logicznym rozumowaniu, a także w zakresie spójności wobec ciała geometrycznej i matematycznej w tamtych czasach.
Podstawowe elementy geometrii euklidesowej
Geometria euklidesowa jest zbudowana wokół czterech podstawowych elementów, opisanych w Księdze I elementów:
- Miejsce
- Prosty
- Płaski
- Przestrzeń
1. Miejsce
A miejsce Brakuje wymiarów lub części i odróżnia się od innego punktu po prostu swoim lokalizacją. Jeśli dwa punkty A i B są różne, to dlatego, że mają różne pozycje, które są wskazane przez dobrze znane współrzędne kartezjańskie (x, y), jeśli punkt jest w płaszczyźnie lub współrzędnych (x, y, z) Jeśli jest w kosmosie.
Warto zauważyć, że system kartezjański nie jest częścią Rzeczy euclida, ale pojawił się znacznie później w ciągu 1600 lat i jest spowodowany René Descartes.
2. Prosty
prosty Jest to nieskończona zbiór punktów i ma tylko długość, a nie szerokość. Część jest zwykle rysowana, a strzałki w obu wskazuje, że linia trwa w nieskończoność.
3. Płaski
A płaski Jest nieograniczoną powierzchnią, więc ma dwa wymiary i których część jest reprezentowana, za pomocą kwadratu lub prostokąta.
Tam, w płaszczyźnie, istnieje wiele postaci geometrycznych, takich jak linie, otwarte i zamknięte krzywe i wielokąty,.
Może ci służyć: ogólne równanie linii, której nachylenie jest równe 2/34. Przestrzeń
Wreszcie jest przestrzeń Z trzema wymiarami, zdolnymi do obarwania wszystkich punktów. Zawiera płaszczyzny i ciała geometryczne charakteryzujące się ich objętością, takimi jak wielościan, kule i inne.
Można je uznać za podstawowe definicje geometrii euklidesowej, ale oprócz nich Euklides oferuje około 150 różnorodnych definicji w ich pracy.
Powszechne pojęcia
Składają się one z oczywistych i intuicyjnych faktów, które nie należą odpowiednio do zakresu geometrii i są wykorzystywane w miarę rozwoju koncepcji. Odnoszą się do „rzeczy” w bardzo szerokim kontekście:
- Rzeczy takie same z czymś innym, są takie same ze sobą.
- Jeśli sprawy są dodawane do innego zestawu rzeczy, a wszystkie są takie same, jakie wyniki są takie same.
- Jeśli równe rzeczy zostaną skradzione, pozostałe.
- Kiedy wszystko się ze sobą pokrywają, dzieje się tak, ponieważ są takie same.
- Cała jest zawsze większa niż strony, przyjmowane osobno.
Postulaty geometrii euklidesowej
Postulaty lub aksjomaty są prostymi stwierdzeniami, które są uważane za prawdziwe i oczywiste, więc nie wymagają demonstracji.
Stanowią one podstawę geometrii euklidów i euklidów ustanawia pięć w swojej książce I:
- Być dwoma różnymi punktami do i b, przechodzi tylko jedna linia, to znaczy dwa punkty określają linię.
- Każdy segment prostoliniowy można rozszerzyć w nieskończoność, aby stanowić linię, dlatego każdy segment należy do linii.
- Jeśli masz dwa różne punkty lub a, zawsze możesz narysować okrąg ze środkiem w O i promieniu równym segmentowi OA.
- Wszystkie proste kąty są ze sobą przystające.
- Biorąc pod uwagę linię i punkt P, który do niej nie należy, zawsze jest to możliwe.
Ostatni postulat, szczególnie w swojej oryginalnej wersji, nie wygląda tak prosto, jak inne. Twierdzi, że:
Może ci służyć: heptagon„Jeśli linia prosta, która spadnie na dwóch innych liniach, produkuje dwa kąty wewnętrzne po tej samej stronie mniej niż dwa proste kąty, powiedziane linie proste, powszechne w nieskończoność, są (przecinające się) z boku, po których drobne kąty są takie dwa proste kąty ”.
To znaczy pierwotnie postulat 5 ustanawia ten warunek, aby dwie linie nie były równoległe. Ale jest to wyraźniejsze, gdy jest napisane w taki sposób, że ilustruje odwrotnie, to znaczy równoległość linii.
Przykłady geometrii euklidesowej
Przykład 1
Istnieją trzy różne punkty, oznaczone literami A, B i C.
- Ile różnych linii przechodzi przez punkt A?
- I ile można narysować między punktami A i B? I między A i C?
- Czy można narysować linię, do której punkty A, B i C?
Odpowiedz
Według Postulatu I, nieskończone linie proste można rysować przez A, ponieważ wymagane są dwa punkty do ustalenia linii.
Odpowiedź b
Entre A i B można narysować tylko linię. I między A i C.
Odpowiedź c
Nie jest możliwe jednocześnie zawieranie linii, B i C.
Przykład 2
Poproszono o zbudowanie krok po kroku trójkąt równoboczny (wszystkie jego boki są równe), znając jedną z jego stron, która jest segmentem AB i wskazując na każdym etapie postulat lub powszechne pojęcie zastosowane w budownictwie w konstrukcji w konstrukcji w.
Budowa trójkąta równobocznego ABC. Źródło: f. Zapata.Odpowiedź
Krok 1
Narysowany jest okrąg z centrum A i Radio AB. Jest to zawsze możliwe, według Postulatu III.
Krok 2
Narysowany jest kolejny obwód z środkiem w B i Radio AB, a postulat III jest ponownie stosowany.
Krok 3
Oba obwody, które mają ten sam promień, są cięte w punkcie C. Teraz możesz rysować segmenty, które jednoczą C z odpowiednio A i B, zgodnie z Postulatem I.
Segmenty te są radiom o obwodzie, a zatem miary AC i BC są równe miarom AB, zgodnie ze wspólnym pojęciem 1. Następnie trójkąt ABC jest równoboczny.