Wspólne przykłady i ćwiczenia czynnikowe

Wspólna czynnik ekspresji algebraicznej polega na określeniu dwóch lub więcej czynników, których produkt jest równy proponowanej ekspresji. W ten sposób, szukając wspólnego czynnika, proces faktoryzacji zawsze zaczyna się.

W tym celu obserwuje się, że istnieje obecność wspólnego terminu, który może być zarówno literami, jak i liczbami. W przypadku liter wspólne literały są traktowane jako wspólny czynnik dla wszystkich terminów, które mają najmniejszy wykładnik, a dla liczb oblicza się maksymalny wspólny dzielnik (MCD) wszystkich współczynników.

Rysunek 1. W wspólnej faktorizowaniu poszukiwane są literały i współczynniki wspólne dla każdego terminu. Źródło: Pixabay/F. Zapata.

Produkt obu wspólnych czynników, pod warunkiem, że różni się od 1, będzie wspólnym czynnikiem wyrażenia. Po znalezieniu, przez podział każdego okresu między wspomnianym czynnikiem, ustalono końcową czynnikę.

Oto przykład tego, jak to zrobić, uwzględniając ten trójmian:

4x⁵-12x³+8x²

Widać, że wszystkie terminy zawierają dosłowne „x”, którego najmniejszy moc to x². Co do współczynników numerycznych: 4, -12 i 8 to wielokrotności 4. Dlatego wspólnym czynnikiem jest 4x².

Po znalezieniu współczynnika każdy termin pierwotnego wyrażenia jest podzielony między nim:

• 4x⁵ / 4x² = x³
• -12x³ / 4x² = -3x
• 8x²/ 4x² = 2

Wreszcie, wyrażenie jest przepisywane jako iloczyn wspólnego czynnika i suma wyników poprzednich operacji, takich jak ten:

4x⁵-12x³+8x² = 4x² (X³ - 3x +2)

[TOC]

Jak uwzględnić, gdy nie ma wspólnego czynnika

Jeśli wspólny czynnik nie jest widoczny jak w poprzednim przykładzie, nadal można go uwzględnić, uważnie obserwować wyrażenie, aby sprawdzić, czy możliwe jest wdrożenie któregokolwiek z następujących metod:

Może ci służyć: grafika polibal

Różnica dwóch idealnych kwadratów

Jest to dwumianowa ekspresja formy:

Do² - B²

To może być uwzględnienie zastosowania znaczącego produktu:

Do² - B² = (A+B) ⋅ (A-B)

Procedura jest następna:

-Najpierw wyodrębnij korzeń kwadratowy każdego z idealnych kwadratów.

-Następnie uformuj produkt między sumą tych korzeni a jego różnicą, jak wskazano.

Idealny kwadratowy trójmian

Trinomile formy:

X² ± 2a⋅x + a²

Uwzględniają znaczący produkt:

(x+a)² = x² ± 2a⋅x + a²

Aby zastosować tę faktoryzację, należy potwierdzić, że w efekcie trinomiast ma dwa idealne kwadraty i że pozostały termin jest podwójnym produktem korzeni kwadratowych tych wartości.

Trójmian formy x² + MX + N

Jeśli czynnik trinomiczny nie ma dwóch idealnych kwadratów, próbuje się napisać jako produkt dwóch terminów:

X² + MX + N = x² + (a + b) x + ab = (x + a) (x + b)

Gdzie powinno to się spełnić, kiedy tylko:

N = A⋅B

M = A+B

Foregharyzacja poprzez grupowanie warunków

Czasami wyrażenie jako czynnik nie ma wspólnego czynnika, ani nie odpowiada żadnemu z opisanych powyżej przypadków. Ale jeśli liczba jego warunków jest równa, można wypróbować tę procedurę:

-Pary grupowe, które mają wspólny czynnik.

-Faktyczne każdą parę według wspólnego czynnika, tak że terminy w nawiasach są równe, to znaczy, więc z kolei nawias jest wspólnym czynnikiem. Jeśli z wybraną grupą nie jest, musisz spróbować z inną kombinacją, aby ją znaleźć.

-Poszukiwana faktoryzacja jest wynikiem warunków w nawiasie dla wspólnych czynników każdej pary.

Przykłady, które pomogą wyjaśnić omawiane przypadki.

Przykłady

Uwzględnij następujące wyrażenia algebraiczne:

a) 6ab² - 18²B³

To jest przykład wspólnego czynnika. Zaczynając od dosłownej części, litery A i B są obecne w dwóch kategoriach. W przypadku zmiennej „A” drobny wykładnik wynosi 1 i jest w semestrze 6ab², podczas gdy dla litery „B” mniejszy wykładnik to B².

Może ci służyć: odwrotne funkcje trygonometryczne: wartość, pochodne, przykłady, ćwiczenia

Potem ab² Jest to wspólny czynnik w pierwotnym wyrażeniu.

Jeśli chodzi o liczby, są 6 i -18, ta ostatnia jest wielokrotnością 6, ponieważ -18 = -(6 × 3). Dlatego 6 jest współczynnikiem numerycznym wspólnego czynnika, który pomnożył się z częścią dosłowną:

6ab²

Teraz każdy oryginalny termin jest podzielony przez ten wspólny czynnik:

• 6ab² ÷ 6ab² = 1
• (-18²B³) ÷ 6ab² = -3AB

Wreszcie oryginalne wyrażenie jest przepisywane jako produkt między wspólnym czynnikiem a sumą algebraiczną terminów znalezionych w poprzednim etapie:

6ab² - 18²B³ = 6ab² ⋅ (1-3AB)

b) 16x² - 9

To wyrażenie jest różnicą od idealnych kwadratów, więc uzyskuje się odpowiednio korzenie kwadratowe na oba warunki:

(16x²) = 4x

√9 = 3

Oryginalne wyrażenie jest napisane jako produkt suma tych korzeni kwadratowych według jej różnicy:

16x² - 9 = (4x+3) (4x-3)

c) z² + 6z + 8

Jest to trynomial formy x² + MX + N, ponieważ 8 nie jest idealnym kwadratem innej liczby całkowitej, więc musisz znaleźć dwie liczby A i B tak, że są one jednocześnie:

• Do.B = 8
• A + B = 6

Przez Tanteo, to znaczy testowanie, poszukiwane liczby wynoszą 4 i 2, ponieważ:

4 × 2 = 8 i 4 + 2 = 6

Więc:

z² + 6Z+8 = (Z+4) ⋅ (Z+2)

Czytelnik może sprawdzić, stosując właściwość dystrybucyjną po prawej stronie równości, że oba wyrażenia są równoważne.

d) 2x² - 3xy - 4x + 6y

To wyrażenie jest kandydatem na faktoryzację poprzez grupowanie terminów, ponieważ nie ma wspólnego czynnika oczywistego dla nagiego oka, a także ma kilka terminów.

Jest grupowany w następujący sposób, wiedząc, że kolejność dodatków nie zmienia sumy:

Może ci służyć: Trójkąt Otusangle

2x² - 3xy + 4x - 6y = (2x² -3xy) + (4x-6y)

Każdy nawias ma swój wspólny czynnik:

(2x²  - 3xy) + (4x-6y) = x (2x-3y) + 2 (2x-3y)

Ostateczny wspólny czynnik został już ujawniony: to nawias powtarzany jest w obu kategoriach (2x -3y).

Teraz może to być znowu czynnik:

• x (2x-3y) ÷ (2x-3y) = x
• 2 (2x-3y) ÷ (2x-3y) = 2

Dlatego:

2x² - 3xy + 4x - 6y = (2x -3y) (x + 2)

Ponownie czytelnik może zastosować właściwość dystrybucyjną na prawo do równości, aby potwierdzić równość.

Rozwiązane ćwiczenia

Rozkładać na czynniki:

a) i² - 10Y + 25

b) 4x² + 12xy + 9y²

c) x² + 5x - 14

d) 3⁴ + Do³ + 15a + 5

Rozwiązanie

Jest idealnym kwadratowym trynomikiem, zaczyna się od znalezienia pierwiastka kwadratowego idealnych kwadratowych terminów:

(I²) = y

√ 25 = 5

Weryfikuje się, że termin centrum jest podwójnym produktem tych dwóch:

10y = 2. 5. I

A poszukiwana faktoryzacja to:

I² - 10Y + 25 = (Y-5)²

Rozwiązanie b

Wyrażenie jest również idealnym kwadratowym trynomikiem:

(4x²) = 2x

(9Y²) = 3y

Centralny termin jest weryfikowany:

12xy = 2⋅2x⋅3y

Wreszcie:

4x² + 12xy + 9y² = (2x+3y)²

Rozwiązanie c

Problemem jest trójmian typu x² + MX + N:

n = a⋅b = -14 = 7 x ( - 2)

M = A + B = 5 = 7 + (- 2) = 5

Odpowiednie liczby to 7 i -2:

X² + 5x - 14 = (x +7) (x - 2)

Rozwiązanie d

3⁴ + Do³ + 15a + 5 = (3a⁴ + Do³) + (15a + 5)

Wspólny czynnik (3⁴ + Do³) To³ a (15a + 5) wynosi 5, zgrupowane w następujący sposób:

(3⁴ + Do³) + (15a + 5) = a³ (3a+1) +5 (3a+1) = (3a+1) (a³ + 5)

Rysunek 2. Ćwiczenia czynników do ćwiczeń. Źródło: f. Zapata.

Bibliografia

1. Baldor, a. 2005. Algebra. Grupa kulturowej ojczyzny.
2. Larson, r. 2012. Przedłużanie. 8. Wydanie. Cengage Learning.
3. Mathworld. Faktoryzacja. Odzyskane z: Mathworld.Wolfram.com.
4. Mathworld. Faktoryzacja wielomianowa. Odzyskane z: Mathworld.Wolfram.com.
5. Stewart, J. 2007. Prefrecment: Matematyka do obliczania. 5. Wydanie. Cengage Learning.
6. Zill, d. 1984. Algebra i trygonometria. McGraw Hill.