Matematyka

Punktualne oszacowanie

Punktualne oszacowanie

Wyjaśniamy, jakie są szacowanie punktowe, jego właściwości, metody. Ponadto wkładaliśmy przykład i rozwiązane ćwiczenia

Jakie jest punktualne oszacowanie?

Punktualne oszacowanie Spośród parametrów statystycznych niektórych charakterystyk populacji jest to przeprowadzane z jednej lub więcej próbek wspomnianej cech.

Populacje mogą być zróżnicowane: kobiety z miasta, pacjentów szpitala, śruby wytwarzane przez określoną branżę w ciągu miesiąca i wiele innych.

W populacji kobiet w mieście badanie statystyczne może koncentrować się na różnych cechach tej populacji: na przykład wielkość butów, wysokości, pomiaru talii, koloru włosów, liczby dzieci, wieku i niezliczonych innych cech.

Po wybraniu populacji i charakterystyki, które chcą poddać się badaniu statystycznym, wybrana jest próbka wielkości N, który jest zwykle dość mniejszy niż rozmiar N całkowitej populacji.

Właściwości punktualnej oceny

Znane dane próbki, które są reprezentowane przez zmienną losową X, Są one reprezentowane przez zestaw N Liczby rzeczywiste: (x1, X2,.. ., XN).

Z tymi danymi można obliczyć niektóre statystyki próbki:

  • Próbka średnia: = (x1+X2,.. ., +XN)/N.
  • Próbka wariancji: S2 = [x1 ~ )2 +.. . +(XN ‾ )2]/N.
  • Quasi-variza próbka: Sc2 = [x1 ~ )2 +.. . +(XN ‾)2]/(N ‾ 1).
Normalny rozkład populacji o wartości centralnej μ i odchylenia sigma σ

Z drugiej strony Populacja średnia μ i wariancja populacji σ2 Wymagałyby wiedzy o wszystkich danych o całej populacji, która ma rozmiar N >> n. W konsekwencji często jest niewykonalne znać dokładnie parametry populacji.

W związku z tym wartości populacji zwykle przybliżają wartości próbki, przybliżenie znane jako Punktualne oszacowanie. SBędzie dobrze lub zły, w zależności od liczby danych i jakości próbki. Próbka jest znana jako taksator.

Może ci służyć: Cotangent Donived: obliczanie, demonstracja, ćwiczenia

Dobry estymator musi mieć pewne pożądane cechy lub właściwości:

  • Konsekwencja
  • Minimalna zmienność 
  • Efektywność.

1.- Konsekwencja

Próbka musi mieć wystarczającą liczbę danych, aby oszacowanie parametrów było spójne. Na przykład, jeśli pobrane są trzy lub więcej próbek, a statystyki próbki są od siebie bardzo odmienne, nie byłoby właściwe przyjęcie żadnego z tych wyników jako konkretnego oszacowania. 

W większości przypadków wystarczy pobrać próbki większej liczby danych, aby uzyskane parametry statystyczne zaczęły wykazywać zbieżność lub zbieg okoliczności, zawsze z pewną tolerancją. W przypadku, gdy nie ma konwergencji, pomimo wzrostu danych, ich jakość należy przejrzeć, ponieważ mogły one mieć tendencję lub po prostu zostały one źle wzięte.

2.- Minimalna zmienność

Jeśli dostępnych jest kilka estymatorów, których średnie wartości pokrywają się z pewną tolerancją, wybrane są te, które mają najmniejszą wariancję próbki.

3.- Efektywność

Estymator n jest skuteczny od momentu, w którym próby wariancji pończoch ma tendencję do zera, ponieważ n ma tendencję do nieskończoności. Jest to, co się nazywa Asymptotyczna wydajność estymatora.

Metody

Poniżej znajdują się niektóre praktyki lub metody, które pozwolą na udane punktualne oszacowanie parametrów populacji, zaczynając od próbki.

1.-Losowa partycja

Zastosowana jest losowa partycja próbki do sprawdzenia spójności. Ta metoda polega na pobraniu próbki o wielkości N i losowo podzielenie jej na dwie próbki, o wielkości N/2.

Jeśli średnia próbki i wariancja próbki pokrywają się z pewną liczbą istotnych liczb, zwykle 2 lub 3 liczb, można powiedzieć, że istnieje między nimi spójność.

Może ci służyć: Zasada multiplikatywna: Techniki zliczania i przykłady

Z drugiej strony, jeśli istnieje przypadek na poziomie znaczących liczb między parametrami statystycznymi obliczonymi z pierwotną próbką rozmiaru N i dwoma subsamami, występuje również zbieżność i można potwierdzić, że wielkość próby jest wystarczająca. W przeciwnym razie konieczne byłoby przyjęcie dodatkowych danych, podnieść ilość przykładowych danych.

2.- Metoda trybu

Ta metoda ma dopasować momenty losowej próbki o wielkości N, z momentami uzyskanymi z kandydata na rozkład próbki. Jeśli rozkład kandydata ma parametry M, konieczne będzie dopasowanie momentów M.

3.- Metoda maksymalnej wiarygodności

Został zaproponowany przez Fishera, jednego z rodziców nauk statystycznych, około sto lat temu. Polega na optymalizacji lub maksymalizacji prawdopodobieństwa występowania określonego zestawu wartości próbki.

Przykład

Załóżmy, że zachowanie pewnej zmiennej populacji jest zgodne z rozkładem wykładniczym, którego gęstość prawdopodobieństwa jest podana przez:

 f (x; λ) = λ ⋅ exp (λ⋅x)

Jest to wyraźnie pojedynczy rozkład parametrów λ.

Aby oszacować wspomnianego parametru populacji, można zastosować losową próbkę wielkości N, której wyniki są następujące: (x1, X2,.. ., XN)

Otrzymuje się pierwszą chwilę próbki, która jest średnią wartością przez:

= (x1 + X2 +… + XN) / N

Można wykazać, że pierwsza chwila rozkładu wykładniczego jest całka 0 do nieskończoności funkcji Xienh (x; λ), a jego wynik wynosi 1/λ.

Wyrównując moment próby z rozkładem populacji, stwierdza się, że specyficzne oszacowanie λ wynosi 1/.

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

W badaniu przeprowadzonym z 100 danymi ustalono, że średni czas, jaki dana osoba przyjmuje do wizualizacji wideo na YouTube, po otrzymaniu powiadomienia wynosi 3 minuty. Znajdź rozkład prawdopodobieństwa czasu zastosowany do obejrzenia wideo, po otrzymaniu powiadomienia.

Może ci służyć: y = 3sen (4x) Okres funkcji

Rozwiązanie

Zakłada się, że maksymalne prawdopodobieństwo, że dana osoba recenzuje wideo, następuje tuż po powiadomieniu, ale jeśli minie długo po nim, prawdopodobieństwo, że ta osoba zobaczy, że wideo jest bardzo niskie.

Jest to typowe zachowanie rozkładu wykładniczego, dlatego zachowanie populacji można modelować za pomocą następującego rozkładu prawdopodobieństwa, dla czasu t (w minutach), mierzonych na podstawie powiadomienia:

 f (t; λ) = λ ⋅ exp (λ⋅t)

W tego rodzaju rozkładu nadzieja lub średnia wynosi = 1/λ, jak wyjaśniono w poprzednim rozdziale. Następnie, na podstawie przykładowych informacji, możesz przybliżać λ:

λ ≈ ⅓.

Ćwiczenie 2

Badanie odbywa się z jednym pytaniem, którego możliwe odpowiedzi są: Tak (1) lub nie (0). Wyniki ankiety, w których wszyscy odpowiedzieli: 26 Tak i 14 Nie.

Przy założeniu, że odpowiedź jest losowa, więc rozkład tych wyników jest rozkład dwumianowy którego prawdopodobieństwo jest:

P = p26 · (1 -p)14

Można wykazać, że maksimum tej funkcji występuje, gdy p przyjmuje wartość 26/40, i jest to wartość, która sprawia, że ​​uzyskane wartości próbki.