Matematyczna formuła nadziei, właściwości, przykłady, ćwiczenia

Matematyczna nadzieja lub oczekiwana wartość zmienna losowa X, jest to oznaczone jako e (x) i jest definiowane jako suma produktu między prawdopodobieństwem losowego zdarzenia a wartością wspomnianego zdarzenia.

W postaci matematycznej wyraża się następująco:

μ = e (x) = ∑ x_Siema. P (x_Siema) = x₁.P (x₁) + x₂.P (x₂) + x₃.P (x₃) +..

Rysunek 1. Matematyczna nadzieja jest szeroko stosowana na giełdzie i polu ubezpieczeniowym. Źródło: Pixabay.

Gdzie x_Siema Jest to wartość zdarzenia i p (x_Siema) jego prawdopodobieństwo wystąpienia. Podsumowanie rozciąga się na wszystkie przyznane wartości x. A jeśli są one skończone, podsumowanie wskazało zbiega się do wartości e (x), ale jeśli suma nie zbiega się, to po prostu zmienna nie ma oczekiwanej wartości.

Jeśli chodzi o zmienną ciągłą X, Zmienna może mieć nieskończone wartości, a całki zastępują podsumowania:

Tutaj f (x) reprezentuje Funkcja gęstości prawdopodobieństwa.

Zasadniczo nadzieja matematyczna (która jest średnią ważoną) nie jest równa arytmetycznej lub średniej średniej, chyba że jest to dyskretne rozkłady, w których każde zdarzenie jest równie prawdopodobne. Więc i tylko wtedy:

μ = e (x) = (1/n) ∑ x_Siema

Gdzie n jest liczbą możliwych wartości.

Koncepcja jest bardzo przydatna na rynkach finansowych i firmach ubezpieczeniowych, w których często brakuje pewności, ale są one prawdopodobne.

[TOC]

Właściwości nadziei matematycznej

Wśród najważniejszych właściwości matematycznej nadziei są:

- Podpisać: Jeśli x jest dodatnie, to E (x) również będzie.

- Oczekiwana wartość stałej: Oczekiwana wartość prawdziwej stałej k To jest stała.

E (k) = k

- Liniowość w sumie: Nadzieja losowej zmiennej, która z kolei jest sumą dwóch zmiennych x y y, jest sumą nadziei.

Może ci służyć: Para uporządkowana

E (x + y) = e (x) + e (y)

- Mnożenie przez stałą: Jeśli zmienna losowa jest formą kx, Gdzie k Jest to stała (liczba rzeczywista), wychodzi z oczekiwanej wartości.

E (kx) = k e (x)

- Oczekiwana wartość produktu i niezależność między zmiennymi: Jeśli zmienna losowa jest iloczynem zmiennych losowych x y y, które są niezależne, wówczas oczekiwana wartość produktu jest iloczyn oczekiwanych wartości.

BYŁY.Y) = e (x).HEJ)

- Zmienna losowa Y = ax + b: Stosowane są poprzednie właściwości.

E (ax + b) = ae (x) + e (b) = ae (x) + b

Ogólnie tak, tak Y = g (x):

E (y) = e [g (x)] = ∑ g (x_Siema). P [g (x_Siema)]

- Zamów w oczekiwanej wartości: Tak x ≤ y, zatem:

E (x) ≤ e (y)

Ponieważ istnieją oczekiwane wartości każdego z nich.

Matematyczna nadzieja w zakładach

Kiedy słynny astronom Christian Huygens (1629-1695) nie obserwował niebios, był zaangażowany w studia, między innymi, prawdopodobieństwo hazardu. To on przedstawił koncepcję matematycznej nadziei w swoim dziele z 1656 r.: Rozumowanie hazardu.

Rysunek 2. Christiaan Huygens (1629-1625) był genialnym i wszechstronnym naukowcem, z którym zawdzięczamy koncepcję oczekiwanej wartości.

Huygens stwierdził, że zakłady można klasyfikować na trzy sposoby, zgodnie z oczekiwaną wartością:

-Gry z przewagą: e (x)> 0

-Fair Bets: E (x) = 0

-Gra w niekorzystnej sytuacji: e (x) < 0

Problem polega na tym, że w grze o szansy matematyczna nadzieja nie zawsze jest łatwa do obliczenia. A kiedy możesz wynik, czasami jest rozczarowujące dla tych, którzy pytają, czy postawić, czy nie.

Podejmijmy próbę prostego zakładu: twarz lub krzyż, a ten, który traci kawę w wysokości 1 $. Jaka jest oczekiwana wartość tego zakładu?

Może ci służyć: jakie są wytyczne? (Geometria)

Cóż, prawdopodobieństwo bycia drogim wynosi ½, tak jak wychodzi krzyż. Zmienna losowa ma wygrać 1 USD lub stracić 1 USD, wzmocnienie jest oznaczone znakiem + i straty z znakiem -.

Organizujemy informacje w tabeli:

Mnożymy wartości kolumn: 1. ½ = ½ Y (-1). ½ = -½ i na koniec dodane są wyniki. Suma wynosi 0 i jest to uczciwa gra, w której oczekuje się, że uczestnicy wygrają lub przegrają.

Francuska ruletka i loteria to gry o niekorzystnej sytuacji, w której przegrana większość traigatorów. Później w sekcji rozwiązanych ćwiczeń jest nieco bardziej złożony.

Przykłady 

Oto kilka prostych przykładów, w których koncepcja nadziei matematycznej jest intuicyjna i wyjaśnia koncepcję:

Przykład 1

Zaczniemy od uruchomienia uczciwej kości. Jaka jest oczekiwana wartość uruchomienia? Cóż, jeśli kości jest uczciwe i ma 6 twarzy, prawdopodobieństwo, że każda wartość (x = 1, 2, 3 ... 6) pozostawia 1/6, tak:

E (x) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5.(1/6) + 6. (1/6) = 21/6 = 3.5

Rysunek 3. Podczas premiery uczciwej kości oczekiwana wartość nie jest możliwą wartością. Źródło: Pixabay.

Oczekiwana wartość w tym przypadku jest równa średniej, ponieważ każda twarz ma takie samo prawdopodobieństwo wyjścia. Ale e (x) nie jest możliwą wartością, ponieważ żadna twarz nie jest warta 3.5. Jest to całkowicie możliwe w niektórych rozkładach, chociaż w tym przypadku wynik nie pomaga w zakładach.

Spójrzmy na kolejny przykład z uruchomieniem dwóch monet.

Przykład 2

Dwie uczciwe monety są wyrzucane w powietrze i definiują losową zmienną x jako liczbę uzyskanych twarzy. Wydarzenia, które mogą wystąpić, są następującymi:

Może ci służyć: 90 dzielników: co to jest i wyjaśnienie

-Nie wychodzi twarz: 0 twarzy, które są równe 2 krzyżom.

-Wychodzi 1 twarz i 1 pieczęć lub krzyż.

-Wychodzą 2 twarze.

Niech C będzie twarzą i pieczęcią, próbka, która opisuje te zdarzenia, jest następujące:

S_M = Pieczęć-iso; Feal-cara; Twarz-ja; Cara-cara = tt, tc, ct, cc

Szanse na wydarzenia to:

P (x = 0) = p (t).P (t) = ½ . ½ = ¼

P (x = 1) = p (tc) + p (ct) = p (t).P (C) + P (C).P (t) = ¼ +¼ = ½

P (x = 2) = p (c).P (c) = ½ . ½ = ¼

Tabela jest zbudowana z uzyskanymi wartościami:

Zgodnie z definicją podaną na początku, matematyczna nadzieja jest obliczana jako:

μ = e (x) = ∑ x_Siema. P (x_Siema) = x₁.P (x₁) + x₂.P (x₂) + x₃.P (x₃) +..

Wymiana wartości:

E (x) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Wynik ten jest interpretowany w następujący sposób: jeśli dana osoba ma wystarczająco dużo czasu, aby wykonać dużą liczbę eksperymentów uruchamiających dwie monety, oczekuje się, że dostanie twarz na każdym uruchomieniu.

Wiemy jednak, że wydania 2 znaczków są całkowicie możliwe.

Ćwiczenie rozwiązane

Podczas premiery dwóch uczciwych walut jest następujący zakład: jeśli pojawią się 2 twarze, zarabiają 3 USD, jeśli wygrana jest 1 twarz, ale jeśli pojawią się dwa znaczki, musisz zapłacić 5 USD. Oblicz oczekiwany wzrost zakładu.

Rysunek 4. Zgodnie z zakładem, matematyczna nadzieja zmienia się, uruchamiając dwie uczciwe monety. Źródło: Pixabay.

Rozwiązanie

Zmienna losowa x to wartości, które pieniądze przyjmują w zakład, a prawdopodobieństwa obliczono w poprzednim przykładzie, dlatego tabela zakładu jest:

E (x) = 3 . ¼ + 1. ½ + (-5) . ¼ = 0

Ponieważ oczekiwana wartość wynosi 0, jest to uczciwa gra, więc oczekuje się, że Bettor nie wygrywa i nie przegrywa. Jednak kwoty zakładów można zmienić, aby przekształcić zakład w grę z przewagą lub grę z niekorzystną sytuacją.

Bibliografia

1. Brase, c. 2009. Niedomagane statystyki. Hougton Mifflin.
2. Olmedo, f. Wprowadzenie do koncepcji oczekiwanej wartości lub matematycznej nadziei zmiennej losowej. Odzyskane od: osobiste.nas.Jest.
3. Statystyki librettexts. Oczekiwana wartość dyskretnych zmiennych losowych. Źródło: statystyki.Librettexts.org.
4. TRIOLA, m. 2010. Statystyka podstawowa. 11. Wyd. Addison Wesley.
5. Walpole, r. 2007. Prawdopodobieństwo i statystyki nauk i inżynierii. 8. Wydanie. Edukacja Pearsona.