Rozwiązane ćwiczenia czynnikowe

faktoring Jest to procedura algebraiczna, w której wyrażenie algebraiczne staje się produktami o prostszych terminach. W ten sposób wiele obliczeń jest uproszczonych.

Ćwiczenia czynnikowe pomagają zrozumieć tę technikę, która jest często używana w matematyce i składa się z procesu pisania sumy jako produktu określonych warunków.

Rysunek 1.- Poprzez rozszerzone wyrażenie algebraiczne jest przekształcane w produkt czynników, z którymi jest komfortowy. Źródło: f. Zapata.

Aby odpowiednio uwzględniać, musisz zacząć od sprawdzenia, czy są one wspólne dla każdego terminu. Na przykład wyrażenie 5x⁴ -10x³ + 25x², który zawiera trzy terminy, może być to czynnik zauważający, że „x” jest powtarzane w każdym z nich, chociaż z inną mocą. Jeśli chodzi o współczynniki numeryczne, wszystkie są wielokrotnościami 5.

Tak więc wspólny czynnik składa się z:

-Produkt między maksymalnym wspólnym dzielnikiem współczynników i

-Najmniejsza moc pojawiających się liter.

W przykładzie wspólnym czynnikiem jest:

5x²

A wyrażenie pozostaje takie:

5x⁴ - 10x³ + 25x² = 5x² ⋅ (x² - 2x + 5)

Czytelnik może sprawdzić zastosowanie właściwości dystrybucyjnej, że oba wyrażenia są równoważne.

[TOC]

Metody czynników: różnica kwadratowa

Nie wszystkie wyrażenia algebraiczne są uwzględniane tak, jak właśnie zrobiliśmy, więc tutaj pokażemy, jak użyć kilku metod z rozwiązanym krokiem.

Zatem przy niewielkiej praktyce czytelnik uczy się stosować najwygodniejszą metodę w przypadkach, takich jak:

-Czynnik dwumianowy i trynomialny.

-Faktoryzacja wielomianowa.

-Obliczanie korzeni wielomianowych.

Obraz z ryc. 1 jest bardzo pomocny, gdy pojawia się pytanie: jakiego rodzaju czynnikowanie wykorzystuje do ćwiczenia?

Zaczniemy od różnicy kwadratów, dla których stosuje się wzór 1.

- Ćwiczenie rozwiązane 1

Wzór 16 -krotny dwumianowy² - 49

Rozwiązanie

W tym przykładzie moc nie jest powtarzana, a współczynniki numeryczne nie są ze sobą kuzynami, jak w przykładzie zasady. Jeśli jednak zweryfikowano, że dane wyrażenie to a Różnica kwadratów, Formuła 1 można zastosować.

Wszystko, co jest potrzebne, to zidentyfikować warunki Do I B:

Do² = 16x² → A = √ (16x²) = 4x
B² = 49 → B = 49 = 7

Po zidentyfikowaniu przejdź do wymiany wzoru:

16x² - 49 = (4x + 7) (4x - 7)

Może ci służyć: redukcja podobnych terminów

A wyrażenie pozostaje, ponieważ dwa czynniki produktu.

W tym i we wszystkich przypadkach czytelnik może potwierdzić, że jeśli opracuje wynik z właściwością dystrybucyjną, oryginalne wyrażenie algebraiczne uzyskuje się.

Perfect Square Trinomial Factorations

Przypadki te odpowiadają wzorom 2 i 3 na rycinie 1. Jednak przed zastosowaniem go należy zweryfikować, czy wyrażenie jest spełnione, że:

-Dwa terminy to idealne kwadraty Do I B.

-Pozostały termin to podwójny produkt A i B, to znaczy: 2AB.

Jeśli powyższe jest prawdą, jest to idealny kwadratowy trynomial, a wzory są stosowane bezpośrednio.

- Ćwiczenie rozwiązane 2

Czynnik Trinomialny: x² + 12x + 36

Rozwiązanie

To wyrażenie wydaje się właściwe, aby zastosować formułę 2 w pudełku, ale najpierw musimy sprawdzić, czy jest to idealne kwadratowe trójmian. Najpierw zaobserwowano, że zarówno pierwszy, jak i trzeci termin to idealne kwadraty:

• X² Jest to idealny kwadrat x, ponieważ (x)² = x²
• 36 to idealny kwadrat 6, od 6² = 36

Więc:

a = x
B = 6

I wreszcie należy zweryfikować, że pozostały termin to 2AB i rzeczywiście:

12x = 2⋅x⋅6

Odejmuje tylko faktoring według wzoru:

X² + 12x + 36 = (x + 6)²

- Ćwiczenie rozwiązane 3

Napisz wyrażenie 4x² -20x + 25 w formie czynnikowej.

Rozwiązanie

Ponieważ istnieje termin znaku ujemnego, może służyć wzorze 3 w pudełku, jednak zanim trzeba go zweryfikować, że jest to idealny kwadratowy trynomial:

• 4x² Jest to kwadrat 2x, ponieważ (2x)² = 4x², Dlatego a = 2x
• 25 równa się 5², Następnie B = 5
• Termin 20x jest równy 2⋅2x⋅5 = 20x

Faktoryzacja pozostaje taka:

4x² -20x + 25 = (2x - 5)²

Suma i różnica kostek

Kiedy masz sumy lub różnice kostek, formuły 4 lub 5 mają zastosowanie w zależności od sprawy.

- Ćwiczenie rozwiązane 4

Forestize 8x³ - 27

Rozwiązanie

Mamy tutaj różnicę w kostkach, więc wyodrębnianie korzenia sześciennego każdego terminu:

Następnie a = 2x i b = 3.

Obserwuje się wzór 4, co jest odpowiednie dla różnicy w kostkach:

8x³ - 27 = (2x-3) ⋅ [(2x)² + 2x⋅3 + 3²] = (2x-3) ⋅ (4x² + 6x + 9)

Foregharyzacja poprzez grupowanie warunków

Na poniższym obrazie istnieje wielomian z czterema terminami, które muszą być rozmiarowe. Pierwsze trzy terminy mają wspólne „x”, ale ostatni nie. Nie możemy też powiedzieć, że współczynniki numeryczne są wielokrotnościami tego samego czynnika.

Może ci służyć: wypukły wielokąta: definicja, elementy, właściwości, przykłady

Jednak postaramy się pogrupować terminy w dwóch częściach z nawiasami, wskazane z żółtą strzałą: pierwsze dwa terminy mają wspólne „x”, podczas gdy dwa ostatnie mają wspólne, że współczynniki są wielokrotnościami 5.

Uwzględniamy te dwie grupy (niebieska strzałka). Teraz czytelnik musi zauważyć, że podczas faktoringu pojawia się nowy wspólny czynnik: nawias (3x+2).

Dotyk Factorize po raz drugi (strzałka różowa), ponieważ (3x+2) jest wspólnym czynnikiem x i 5.

Rysunek 2. Przykład, jak uwzględnić grupowanie warunków. Źródło: f. Zapata.

Korzenie wielomianu

Są wartościami zmiennej, które anulują wielomian. Jeśli jest to wielomian, którego zmienna jest „x”, jak widzieliśmy, ponieważ chodzi o znalezienie wartości x, tak że podczas wymiany, uzyskana wartość liczbowa wynosi 0.

Faktoryzacja jest metodą znalezienia zer w niektórych wielomianach. Spójrzmy na przykład:

- Ćwiczenie rozwiązane 5

Znajdź zera trynomialnego x² -2x - 3

Rozwiązanie

Uwzględniamy trójmian, ale nie jest to idealny kwadratowy trójmian. Jednak możemy przeprowadzić procedurę Tanteo. Napisaliśmy Trinomial jako iloczyn dwóch czynników, takich jak ten:

X² -2x - 3 = (x) . (X)

W pierwszym nawiasie umieszczono pierwszy znak trójmianowy, widoczny od lewej do prawej. To jest znak (-). W drugim nawiasie iloczyn dwóch znaków, które pojawiają się po terminie z x²:

(-) x (-) = +

W ten sposób będzie widoczna czynnik:

X² -2x - 3 = (x -) . (x +)

Teraz musisz szukać dwóch liczb A i B, które zostaną umieszczone w pustych przestrzeniach. Po pomnożeniu powinno wynosić 3:

• A x b = 3

I muszą również być zgodne z faktem, że po wyniku jest to 2, ponieważ objawy nawiasów są różne.

(Gdyby były równe znaki, należy szukać dwóch liczb A i B, że po dodaniu podali współczynnik terminu z „x”). Więc:

• A - B = 2

Liczby spełniające oba warunki to 3 i 1, ponieważ:

3 x 1 = 3

3 - 1 = 2

Najwyższa liczba jest umieszczana w nawiasie lewej, a czynnik uwzględniający pozostaje następujący:

X² - 2x - 3 = (x - 3) . (x + 1)

Zero wielomianu to wartości x, które anulują każdy czynnik:

Może ci służyć: nawet liczby

x - 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 1 = 0 ⇒ x = -1

Czytelnik może sprawdzić, czy zastąpienie tych wartości w oryginalnym trynomice jest to anulowane.

Inne ćwiczenia

- Ćwiczenie rozwiązane 6

Współczynnik następujący wielomian: P (x) = x²-1.

Rozwiązanie

Używanie rozpuszczalnika nie zawsze jest konieczne. W tym przykładzie można użyć niezwykłego produktu.

Przepisywanie wielomianu w następujący sposób.

Korzystając z niezwykłego produktu 1, różnica kwadratów, wielomian P (x) może być uwzględniany w następujący sposób: p (x) = (x+1) (x-1).

Wskazuje to również, że korzenie p (x) to x1 = -1 i x2 = 1.

- Ćwiczenie rozwiązane 7

Fakt następujący wielomian: q (x) = x³ - 8.

Rozwiązanie

Istnieje niezwykły produkt, który mówi, że następujące: a³-B³ = (A-B) (A²+AB+B²).

Wiedząc o tym, możesz przepisać wielomian q (x) w następujący sposób: q (x) = x³ -8 = x³ - 2³.

Teraz, przy użyciu opisanego godnego znaczącego produktu, faktoryzacja wielomianowa q (x) wynosi q (x) = x3-2³ = (x-2) (x²+2x+2²) = (x-2) (x²+2x++2x+ 4).

Brakujące czynniki kwadratowe wielomianowe, które powstało w poprzednim kroku. Ale jeśli zaobserwowano, niezwykły produkt numer 2 może pomóc; Dlatego końcową faktorystykę Q (x) jest podana przez q (x) = (x-2) (x+2) ².

To mówi, że korzeń q (x) to x1 = 2, a x2 = x3 = 2 jest drugim korzeniem Q (x), który jest powtarzany.

- Ćwiczenie rozwiązane 8

Forestize r (x) = x² - x - 6.

Rozwiązanie

Gdy nie można wykryć znaczącego produktu lub niezbędne doświadczenie w manipulowaniu wyrażeniem, nie jest dostępne zastosowanie rozdzielczości. Wartości są następujące a = 1, b = -1 i c = -6.

Podczas wymiany ich w wzorze jest to x = (-1 ± √ ((-1) ²-4*1*(-6)))/2*1 = (-1 ± √25)/2 = (-1 ± 5)/2.

Stąd znajdują się dwa rozwiązania, które następują:

x1 = (-1+5)/2 = 2

x2 = (-1-5)/2 = -3.

Dlatego wielomianowy r (x) może być faktoring jako r (x) = (x-2) (x-(-3)) = (x-2) (x+3).

- Ćwiczenie rozwiązane 9

Współczynnik H (x) = x³ - x² - 2x.

Rozwiązanie

W tym ćwiczeniu możesz zacząć od wyjmowania wspólnego współczynnika X i uzyskuje się, że H (x) = x (x²-x-2).

Dlatego pozostaje tylko uwzględnienie kwadratowego wielomianu. Korzystając ponownie z rozpuszczalnika, korzenie muszą być:

x = (-1 ± √ ((-1) ²-4*1*(-2)))/2*1 = (-1 ± √9)/2 = (-1 ± 3)/2.

Dlatego korzenie kwadratowego wielomianu wynoszą x1 = 1 i x2 = -2.

Podsumowując, czynnikowanie wielomianowego H (x) jest podawane przez h (x) = x (x-1) (x+2).

Bibliografia

1. Baldor. 1977. Algebra podstawowa. Wenezuelskie wydania kulturalne.
2. Korzenie wielomianu. Co są i jak obliczane są krok po kroku. Odzyskane z: Ekuatio.com.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Stewart, J. 2006. Prefrecment: Matematyka do obliczania. 5. Wydanie. Cengage Learning.
5. Zill, d. 1984. Algebra i trygonometria. McGraw Hill.