Przyjaciele lub przyjazne przykłady i jak je znaleźć

 Przyjaciele lub przyjazne liczby Istnieją dwie naturalne liczby A i B, których suma dzielników jednego z nich (nie wliczania liczby) jest równa drugiej liczbie, a suma dzielników tego drugiego (nie włączając go również) jest równa pierwszemu pierwszemu wydanie.

Znaleziono wiele par liczb, które dzielą tę ciekawą własność. Nie są to zbyt małe liczby, nieletni mają 220 i 284, odkryte kilka wieków temu. Dajmy im więc jako przykład tego, co oznacza ta szczególna przyjaźń między liczbami.

Rysunek 1. Kilka przyjaciół 220 i 284 była już znana od stuleci. Źródło: Pixabay.

Dzielnicy 220, nie uwzględniając 220, to: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 i 110. Z drugiej strony, dzielnicy 284, nie uwzględniając 284 to: 1, 2, 4, 71 i 142.

Teraz dodajemy dzielniki pierwszego wydania, które to 220:

D₁ = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284

Obserwujemy, że w efekcie suma wynosi 284, znajomy.

Następnie dodaje się dzielniki 284:

D₂ = 1+2+4+71+142 = 220

I otrzymano pierwszego członka pary.

Starożytni greccy matematycy z Pitagorean School, założone przez Pitagoras (569-475.C.), Autor słynnego twierdzenia o tej samej nazwie, udało się odkryć ten szczególny związek między tymi dwoma liczbami, do których przypisało wiele mistycznych cech.

Byli również znani przez islamskich matematyków średniowiecza, którym udało się ustalić ogólną formułę, aby znaleźć przyjaciół o 850 roku naszej epoki.

[TOC]

Formuła znalezienia przyjaciół

Islamski matematyk Thabit Ibn Qurra (826-901) znalazł sposób na wygenerowanie liczb przyjaciół. Sean P, Q I R Trzy liczby główne, to znaczy liczb, który przyznaje tylko 1 i siebie jako dzielnicy.

Po spełnieniu następujących:

P = 3.2^N-1 - 1

Q = 3.2^N - 1

Może ci służyć: następstwo (geometria)

R = 9.2^2n-1 - 1

Z N liczba większa niż 1, zatem:

A = 2^NPQ i B = 2^NR 

Zrobić kilku przyjaciół. Wypróbujemy formułę dla n = 2 i zobaczymy, które kilka liczb znajomych generuje:

P = 3.2^2-1 - 1 = 3. 2 - 1 = 5

Q = 3.2² - 1 = 11

R = 9.2^2.2-1 - 1 = 71

Więc:

A = 2^NPQ = 2². 5. 11 = 220

B = 2^NR = 2². 71 = 284

Formuła średniowiecznej matematyki.

Jednak twierdzenie nie działa dla wszystkich znalezionych do tej pory znajomych, tylko dla n = 2, n = 4 i n = 7.

Wieki później szwajcarski matematyk Leonhard Euler (1707-1783) wydedukował nową zasadę znalezienia przyjaznych liczb, w oparciu o to, że Thabit Ibn Qurra:

P = (2^N-M + 1). 2^M - 1

Q = (2^N-M + 1). 2^N - 1

R = (2^N-M + 1)². 2^M+n  - 1

Jak zawsze liczby P, Q i R są kuzynami, ale teraz istnieją dwa całe wykładniki: M i N, z których M musi spełniać następujący warunek:

1 ≤ m ≤ n-1

Para przyjaciół jest tworzona w ten sam sposób:

A = 2^NPQ 

B = 2^NR 

Jeśli M = N-1 zostanie uzyskane ponownie Twierdzenie Thabita, ale tak jak w przypadku islamskiego twierdzenia matematyka, nie wszystkie przyjazne liczby spełniają zasadę Eulera. Jednak wraz z nim ilość przyjaznych liczb znanych do tego czasu wzrosła.

Oto pierwsze pary wykładników (M, N), z którymi można znaleźć przyjazne liczby:

(1,2), (3,4), (6,7), (1.8) i (29,40)

Później w sekcji ćwiczeń znajdziemy kilka przyjaznych liczb, które tworzą się dzięki wykładnikom (3,4) zasady Eulera.

Przykłady liczb przyjaciół

-220 i 284

Może ci służyć: losowy eksperyment: koncepcja, przestrzeń próbki, przykłady

-1184 i 1210

-2620 i 2924

-5020 i 5564

-6232 i 6368

-10.744 i 10.856

-12.285 i 14.595

-17.296 i 18.416

Oczywiście, wiele innych par przyjaznych liczb może być generowane przez komputer.

Jak rozbić liczbę i znaleźć dzielniki

Zobaczmy teraz, jak znaleźć dzielniki liczby, aby potwierdzić, jeśli są przyjaciółmi. Zgodnie z definicją przyjaznych liczb, wszyscy dzielnicy każdego uczestnika są potrzebne, aby móc je dodać, z wyjątkiem samych liczb.

Teraz liczby naturalne można podzielić na dwie grupy: liczby pierwotne i liczby złożone.

Liczby Primo przyznają się tylko jako dokładne podziały na 1 i siebie. A liczby złożone przez swoją część, zawsze można wyrażać jako produkt liczb pierwszych i mieć inne dzielniki, oprócz 1 i samych siebie.

W ten sposób można wyrazić dowolną liczbę złożoną, jak 220 lub 284:

N = a^N . B^M. C^P… R^k

Gdzie a, b, c ... r to liczby pierwszymi i n, m, p ... k są wykładnikami należącymi do liczb naturalnych, co może być warte od 1 od 1.

Jeśli chodzi o te wykładniki, istnieje formuła, aby wiedzieć, ile (ale nie które) dzielniki ma liczbę n. Niech C będzie taką kwotą:

C = (n +1) (m +1) (p +1) ... (k +1)

Po wyrażeniu liczby N w kategoriach produktów liczb pierwszych i wiadomo, ile ma dzielników, masz już narzędzia, aby wiedzieć, jakie są ich dzielnicy, zarówno kuzyni, jak i nie. I należy je wszystkie spotkać, aby sprawdzić, czy są przyjaciółmi, z wyjątkiem ostatniej, która jest samą liczbą.

Rozwiązane ćwiczenia

- Ćwiczenie 1

Znajdź wszystkie dzielniki kilku przyjaciół 220 i 284.

Rozwiązanie

Najpierw znajdziemy główne dzielniki 220, co jest liczbą złożoną:

Może ci służyć: punktualne oszacowanie

220 │2
110 │2
55 │5
11 │11
1 │

Rozkład w pierwszych czynnikach wynoszący 220 to:

220 = 2 x 2 x 5 x 11 = 2².5. jedenaście

Dlatego n = 2, m = 1, p = 1 i jest właścicielem:

C = (2+1). (1+1). (1+1) = 12 dywizorów

Pierwszymi dzielnikami ostrzegani przed rozkładem liczby to: 1, 2, 4, 5 I jedenaście. I oni też są 110 I 55.

Brakuje 5 z nich, którzy wytwarzają produkty między kuzynami i ich kombinacją: 2².5 = 20;  2².11 = 44; 2. 11 = 22 I wreszcie 1 i jego własne 220.

Obserwowano analogiczną procedurę dla 284:

284 │2
142 │2
71 │71
1 │

284 = 2². 71

C = (2+1). (1+1) = 3 x 2 = 6 dzielników

Te dzielniki to: 1, 2, 4, 71, 142 i 284, jak stwierdzono na początku.

Rysunek 2. Za pomocą opisanej metody pary te można przeanalizować, aby sprawdzić, czy są liczbami przyjaciół. Źródło: f. Zapata.

- Ćwiczenie 2

Sprawdź wzór Eulera dla n = 4 i m = 3 generuje listę liczb pierwszych (p, q, r) = (23,47, 1151). Co z nimi utworzyli para przyjaciół?

Rozwiązanie

Liczby pierwszorzędne p, q i r są obliczane przez:

P = (2^N-M + 1). 2^M - 1

Q = (2^N-M + 1). 2^N - 1

R = (2^N-M + 1)². 2^M+n  - 1

Uzyskuje się wymianę wartości m = 3 i n = 4:

P = (2^4-3 + 1). 2³ - 1 = 23

Q = (2^4-3 + 1). 2⁴ - 1 = 47

R = (2^4-3 + 1)². 2⁴⁺³  - 1 = 1151

Teraz stosuje się formułę, aby znaleźć parę znajomych numerów A i B:

A = 2^NPQ 

B = 2^NR 

A = 2^NPQ = 16. 23. 47 = 17.296

B = 2^NR = 16. 1151 = 18.416

I rzeczywiście należą one do listy pierwszych par znajomych, które wcześniej pokazujemy.

Bibliografia

1. Baldor, a. 1986. Arytmetyka. Codex Editions and Dystrybucje.
2. Wszystko o liczbach pierwotnych. Liczby przyjaciół. Odzyskane od: pielęgniarka.org.
3. Wolfram Mathworld. Reguła Eulera. Odzyskane z: Mathworld.Wolfram.com.
4. Wikipedia. Przyjazne liczby. Źródło: w:.Wikipedia.org.
5. Wikipedia. Liczby przyjaciół. Odzyskane z: jest.Wikipedia.org.