Kwadratowy dwumian

Co to jest kwadratowy dwumian?

W Algebra podstawowa Dwumianowa jest sumą lub odejmowaniem dwóch monomialnych, których postać to (a ± b), gdzie Do to pierwszy termin i B drugi. Symbol ±, który odczytuje „więcej”, oznacza zwięzłe do sumy i odejmowania niniejszych Warunków.

Następnie kwadratowy dwumian jest zapisany w postaci (A ± B)², reprezentować mnożenie dwumianową. Ta operacja jest łatwo przeprowadzana za pomocą właściwości dystrybucyjnej mnożenia w odniesieniu do dodania.

Geometryczna interpretacja kwadratowego dwumianowego jako dodatek z dwóch monomialnych: obszar dużego kwadratu składa się z obszaru zielonego kwadratu, a także obszaru pomarańczowego, a także z dwóch żółtych prostokątów, co powoduje² + 2A⋅B + b². Źródło: Wikimedia Commons.

W ten sposób uzyskuje się wynik, który jest wygodny do zapamiętywania, ponieważ rozwój kwadratowego dwumianowego pojawia się w wielu zastosowaniach algebry, obliczeniach i naukach w ogóle.

Wyjaśnienie

Rozwój kwadratowego dwumianowego odbywa się przy pomocy wspomnianej nieruchomości dystrybucyjnej. W ten sposób dostajesz:

(A ± B)² = (A ± B) × (A ± B) = a² ± A⋅B ± B⋅A + B² = a² ± 2a⋅b + b²

Wynik, który zawsze ma trzy terminy i jest znany jako Godny uwagi produkt, Czyta w ten sposób:

Kwadrat pierwszego okresu, plus/mniej podwójny produkt pierwszego terminu dla drugiego, plus kwadrat drugiego terminu.

Definicja ma zastosowanie do dowolnego dwumianowego, niezależnie od formy jej warunków.

Kwadrat sumy i różnicy

Plac suma to:

(A + B)² = (a + b) × (a + b) = a² + AB + BA + B² = a² + 2AB + b²

Podczas gdy kwadrat różnicy to:

(A - B)² = (a - b) × (a - b) = a² - ab - ba + b² = a² - 2AB + B²

Może ci służyć: zmienna nominalna: koncepcja i przykłady

Należy zauważyć, że różnica między obiema zmianami leży w znaku umieszczonym na skrzyżowanym terminie.

Przykłady

Przykład 1

Podczas opracowywania kwadratu dwumianowego (x + 5)², Uzyskuje się, przy użyciu wyniku uzyskanego w poprzedniej sekcji:

(x + 5)² = x² + 2x ∙ 5 + 5² = x² + 10x + 25

Przykład 2

Aby znaleźć rozwój kwadratowego dwumianowego (2x - 3)², Postępuj w analogiczny sposób:

(2x - 3)² = (2x)² - 2 ∙ 2x ∙ 3 + 3² = 4x² - 12x + 9

Przykład 3

Nie zawsze termin zawierający teksty idzie najpierw na miejsce. Na przykład kwadrat dwumianowy (12–7x), uzyskuje się:

(12 - 7x)² = 12² - 2 ∙ 12 ∙ 7x + (7x)² = 144 - 168x + 49x²

Ćwiczenia

Opracuj następujące kwadratowe dwumianowe:

a) (3xy - 1)²
b) (2Z + 5Y)²
c) [(x+y) - 6]²

Rozwiązanie

(3xy - 1)² = (3xy)² - 2 ∙ 3xy ∙ 1 + 1² = 9x²I² - 6xy + 1

Rozwiązanie b

(2Z + 5Y)² = (2Z)² + 2 ∙ 2Z ∙ 5Y + (5Y)² = 4z² + 20zy + 25y²

Rozwiązanie c

[(x+y) - 6]² = (x+y)² - 2 ∙ (x +y) ∙ 6 +6² = (x+y)² - 12 ∙ (x + y) + 36

Pierwszy okres trinomianu można opracować z kolei:

(x+y)² = x² + 2x ∙ y + i²

I wymienić poprzedni wynik:

[(x+y) - 6]² = (x+y)² - 12 ∙ (x + y) + 36 = x² + 2x ∙ y + i² - 12 ∙ (x + y) + 36

Idealny kwadratowy trójmian

Wynik rozwoju kwadratowego dwumianowego zawiera trzy terminy, zgodnie z: (A ± B)² = a² ± 2ab + b². Dlatego się nazywa trójmian (trzy monomile) i jest również idealny, ponieważ jest uzyskiwany przez kwadratowy dwumian.

Identyfikacja idealnego kwadratowego trynomika i znalezienie odpowiedniego dwumianowego, które powoduje, że jest celem faktoryzacji.

Na przykład trynomialny x² + 14x + 49 jest idealnym kwadratowym trynomikiem, ponieważ:

Może ci służyć: liczby transcendentne: co to są, formuły, przykłady, ćwiczenia

X² + 14x + 49 = (x + 7)²

Czytnik może łatwo sprawdzić, opracowując kwadrat dwumianowy (x + 7)² Według poprzednich formuł:

(x + 7)² = x² + 2x ∙ 7 + 7² = x² + 14x + 49