Miara ARC (geometria), typy łuków, przykłady

On ukłon, W geometrii jest to każda zakrzywiona linia, która łączy dwa punkty. Zakrzywiona linia, w przeciwieństwie do linii prostej, jest ta, której kierunek jest inny w każdym punkcie tego samego. Przeciwieństwem łuku jest segment, ponieważ jest to prosta sekcja, która łączy dwa punkty.

Łukiem najczęściej stosowanym w geometrii jest łuk obwodu. Inne łuki powszechnego użytku to łuk paraboliczny, łuk eliptyczny i łuk katalizujący. Forma łuku jest również często używana w architekturze jako element dekoracyjny i element konstrukcyjny. Tak jest w przypadku nadproży drzwi i okien, a także mostów i akweduktów.

Rysunek 1. Rainbow to zakrzywiona linia, która łączy dwa punkty na horyzoncie. Źródło: Pixabay

[TOC]

Łuk i jego miara

Miara łuku jest jego długością, która zależy od rodzaju krzywej, która łączy dwa punkty i ich lokalizację.

Długość okrągłego łuku jest jedna z najłatwiejszych do obliczenia, ponieważ znana jest pełna długość łuku lub obwód koła.

Obwód koła wynosi dwa Liczba Pi razy twoje radio: P = 2 π r. Wiedząc o tym, jeśli chcesz obliczyć długość S okrągłego łuku kąta α (mierzone w radiach) i radiu R, Stosuje się odsetek:

(S / P) = (α / 2 π)

Następnie rozliczenie S poprzedniego wyrażenia i zastępowanie obwodu P według jego wyrażenia w zależności od radia R, Ty masz:

S = (α / 2 π) p = (α / 2 π) (2 π r) = α r.

Oznacza to, że miara okrągłego łuku jest iloczyn jego otworu kątowego przez promień łuku okrągłego.

W przypadku łuku w ogólny sposób problem jest bardziej skomplikowany, do tego stopnia, że ​​wielcy myśliciele starożytności twierdzili, że było to niemożliwe zadanie.

Może ci służyć: jakie są wyrażenia algebraiczne, a które są najczęstsze?

Dopiero nadejdzie rachunku różnicowego i integralnego w 1665 r. Problem miary dowolnego łuku został rozwiązany. 

Przed wynalezieniem różniczkowego rachunku różnicowego można było znaleźć tylko roztwory za pomocą wielokątnych łuków linii lub obwodu, które zbliżały się do prawdziwego łuku, ale rozwiązania te nie były dokładne. 

Rodzaje łuków

Z punktu widzenia geometrii łuki są klasyfikowane zgodnie z zakrzywioną linią, która łączy dwa punkty płaszczyzny. Istnieją inne klasyfikacje zgodnie z jego użyciem i formą architektoniczną.

Okrągły łuk

Kiedy linia łącząca dwa punkty płaszczyzny jest kawałkiem obwodu o pewnym promieniu, istnieje okrągły łuk. Ryc. 2 pokazuje okrągły łuk o promieniu R, który łączy punkty A i B.

Rysunek 2. Radio R, który łączy punkt A i B. Przygotowane przez Ricardo Pérez.

Paraboliczny łuk

Przypowieść to trajektoria, która podąża za obiektem wyrzuconym w powietrze w postaci ukośnej. Kiedy krzywa, która dołącza do dwóch punktów, jest przypowieść, istnieje łuk paraboliczny, taki jak ten pokazany na rycinie 3.

Rysunek 3. Paraboliczny łuk, który łączy punkty A i B. Przygotowane przez Ricardo Pérez.

Jest to kształt, który przyjmuje strumień wodny, który wychodzi z węża, który wskazuje. Łuk paraboliczny można zaobserwować w źródłach wody.

Rysunek 4. Paraboliczny łuk utworzony przez wodę ze źródła w Dreźnie. Źródło: Pixabay.

Łuk katastrofalny

Łuk katalizujący to kolejny naturalny łuk. Katenard jest krzywą, która jest naturalnie uformowana, gdy łańcuch lub lina wisi wygodnie z dwóch oddzielnych punktów.

Może ci służyć: jakie są elementy kąta? Rysunek 5. Łuk katalizujący i porównanie z parabolicznym łukiem. Przygotowane przez Ricardo Pérez.

Kategoria jest podobna do paraboli, ale nie jest dokładnie taka sama, jak można ją zauważyć na rycinie 4.

Odwrócony łuk w kształcie tatystów jest używany w architekturze jako element strukturalny o wysokiej odporności na kompresję. W rzeczywistości można wykazać, że jest to najbardziej odporny typ łuku wśród wszystkich możliwych form. 

Aby zbudować solidny łuk tatystyczny, kopiowany jest tylko kształt liny lub łańcucha, a następnie skopiowany kształt obraca się, aby odtworzyć go w nadprzewaniu drzwi lub oknie.

Eliptyczny łuk

Łuk jest eliptyczny, jeśli krzywa łącząca dwa punkty to odcinek lub odcinek elipsy. Elipsa jest zdefiniowana jako geometryczne miejsce punktów, których odległość do dwóch punktów zawsze dodaje stałej ilości.

Elipsa jest krzywą, która pojawia się w naturze: jest to krzywa trajektorii planety wokół Słońca, jak pokazał Johannes Kepler w 1609 roku.

W praktyce elipsa można narysować, umieszczając dwa rozpórki na podłodze lub dwa szpilki na papierze i przywiązując do nich linę. Następnie lina jest napięta z markerem lub ołówkiem, a krzywa jest narysowana. Kawałek elipsy to eliptyczny łuk. Poniższa animacja ilustruje, jak narysowana jest elipsa:

Rysunek 5. Pozy elipsy za pomocą napiętej liny. Źródło: Wikimedia Commons

Rysunek 6 pokazuje łuk eliptyczny, który łączy punkty G i H.

Rysunek 6. Eliptyczny łuk, który łączy dwa punkty. Przygotowane przez Ricardo Pérez.

Przykłady łuków

Poniższe przykłady odnoszą się do tego, jak obliczyć obwód niektórych określonych łuków.

Może ci służyć: liczby transcendentne: co to są, formuły, przykłady, ćwiczenia

Przykład 1

Rysunek 7 pokazuje okno zakończone w ciętym okrągłym łuku. Wymiary pokazane na figurze są na stopach. Oblicz długość łuku.

Rysunek 7. Obliczanie okrągłej długości łuku okna. (Własne adnotacje - obraz okna w pixabay)

Aby uzyskać środek i promień okrągłego łuku nadprzewodu okna, na obrazie wykonane są następujące konstrukcje:

-Segment KL jest narysowany, a jego mediaTrix rysuje.

-Następnie znajduje się najwyższy punkt nadproży, który nazywamy M. Następnie rozważany jest segment KM, a jego mediaTrix jest narysowany.

Przechwytywanie dwóch mediów jest punktem N, a także środkiem okrągłego łuku.

-Teraz musisz zmierzyć długość segmentu NM, który pokrywa się z promieniem r okrągłego łuku: r = 2.8 stóp.

-Aby poznać długość łuku Oprócz promienia, kąt tworzył łuk. Które można określić dwie metody lub są mierzone za pomocą transportera lub naprzemiennie obliczone za pomocą trygonometrii.

W przypadku pokazanego kąt, który tworzy łuk, wynosi 91,13º, które należy przekształcić w radian:

 91,13º = 91,13º * π / 180º = 1,59 radian

W końcu obliczamy długość S łuku przez formułę S = α r.

S = 1,59 * 2.8 stóp = 4,45 stóp

Przykład 2

Znajdź długość eliptycznego łuku pokazanego na rycinie 8, znanych R i mniejsza osi półki S elipsy.

Cyfra 8. Eliptyczny łuk między GH. Przygotowane przez Ricardo Pérez.

Znalezienie długości elipsy było przez długi czas jednym z najtrudniejszych problemów matematyki. Można uzyskać rozwiązania wyrażone przez całki eliptyczne, ale aby mieć wartość numeryczną, te całki z serii mocy muszą zostać rozszerzone. Dokładny wynik wymagałby nieskończonych warunków tych serii.

Na szczęście geniusz matematyczny hinduskiego pochodzenia Ramanujana, który żył w latach 1887–1920, znalazł formułę, która bardzo dokładnie jest obwodem elipsy:

Obwód elipsy = π [3 (r + s) - √ ((3r + s) (r + 3s))]]]]]

Obwód elipsy o r = 3 cm i s = 2.24 cm to 16,55 cm. Jednak pokazany łuk eliptyczny ma połowę tej wartości:

Eliptyczna długość łuku GH = 8.28 cm.

Bibliografia

1. Clemens s. 2008. Geometria i trygonometria. Edukacja Pearsona.
2. Garcia f. Procedury numeryczne w Javie. Długość elipsy. Źródło: SC.Ehu.Jest
3. Geometria dynamiczna. Łuki. Odzyskane z geometriadinamica.Jest
4. Posedas. Elipsy i przypowieści wokół nas. Pobrano z: Pizedas.com
5. Wikipedia. ARC (geometria). Odzyskane: to jest.Wikipedia.com